제10장 타당성이 관계에 의존하는 논증들

I. 머리말

II. 관계적 논증의 예들

III. 관계의 중요한 속성들

IV. 양화사에 의한 관계의 표현

1. 보편양화사의 기호화

2. 존재양화사의 기호화

3. 관계적 문장의 기호화

4. 복수 양화사(Multiple Quantifiers)

5. 모든의 오류(The Fallacy of Every and All)

V. 논증의 기호화

VI. 복습

 

 

I. 머리말

 

앞장에서 우리는 논증의 두 가지 중요한 유형을 분석했다: 진리함수적 논증과 정언적 삼단논증. 이 각각의 논증유형에서 타당성은 형식의 문제임이 보여졌었다. 진리함수적 논증의 타당성은 논증을 이루는 문장들간의 논리적 연관성에 의존하는 반면, 정언적 삼단논법의 타당성은 문장들 안에 있는 주어개념(subjective term)과 술어개념(predicate term)간의 논리적 연관성에 의존한다. 진리함수적 논증과 삼단논법적 논증을 분석할 때 우리는 논증의 내용은 고려하지 않는다. 진리함수적 논증에서의 단순문장들과 정언적 삼단논증에서의 집합개념이 알파벳 문자로 표현됨으로써 이러한 논증들을 일반적인 형태로 표현할 수가 있었다. 진리함수적 논증의 경우에는 "그리고," "아니다," "또는," "만약 ... 이면," 그리고 "...인 경우 그리고 오직 그 경우에만"과 같은 진리함수적 연결사들을 표현하기 위해 기호들이 도입됨으로써 보다 형식화된 표현이 가능했었다. 논리학자들은 어떠한 연역적으로 타당한 논증이라도 어떤 타당한 논증형식의 한 사례라고 믿는다. 따라서 논리학의 역사는 직관적으로 타당하다고 생각되는 논증들의 형식적 속성들에 대한 이해를 증가시켜 온 역사라고 할 수 있다. 논증에 관한 최초의 형식적 설명은 아리스토텔레스의 삼단논법 이론이었다. 아리스토텔레스의 이론이 나온 바로 다음에 스토아학파의 논리학자들은 진리함수적 논증형식에 관한 포괄적인 이론을 발전시켰다. 그리고 훨씬 후에야 또 다른 중요한 논증들이 형식적으로 다루어졌다. 이 논증들의 타당성은 그 논증들에서 언급되는 관계(relation)들의 형식적인 특성에 의존한다. 이러한 관계적 논증들이 바로 이 장의 주제가 될 것이다.

 

II. 관계적 논증의 예들

 

다음 논증들은 명백히 타당하다:

 

(1) 신형 벤츠는 신형 캐딜락보다 비싸다.

신형 캐딜락은 신형 포드보다 비싸다.

----------------------------------

신형 벤츠는 신형 포드보다 비싸다.

 

(2) 소라는 동엽이보다 키가 크다.

--------------------------

동엽이는 소라보다 키가 크지 않다.

 

 

(3) 1인치는 2.54센티미터와 같다.

--------------------------

2.54센티미터는 1인치와 같다.

 

진리함수적 논리와 삼단논법적 논리의 도구만으로는 이러한 논증들의 타당성이 의존하는 논증 형식을 표현할 수 없다. 각각의 경우에 본질적으로 논증의 타당성은 단순히 논증에 포함된 문장들간의 연결이라든지 그 문장들의 주어와 술어가 어떻게 연관되는지에 의존하는 게 아니라 그 논증에서 언급되는 관계의 속성("보다 비싸다," "보다 키가 크다," "와 같다")에 의존한다.

 

III. 관계의 중요한 속성들

 

논증 (1)은 만약 첫 번째 것이 두 번째 것보다 비싸고 두 번째 것이 세 번째 것보다 비싸면 첫 번째 것이 세 번째 것보다 비싸기 때문에 타당하다. "보다 비싸다"처럼 이러한 특징이 있는 관계를 이행적(transitive)이라 부른다. 이행적인 관계에는 여러 가지가 있다: "보다 나이가 많다," "보다 어리다," "보다 길다," "...와 똑같다," "보다 크다," "...의 조상," "...의 후손" 등등.

그러나 모든 관계가 이행적인 것은 아니다. 어떤 것들은 비이행적(intransitive)이다. 첫 번째 것이 두 번째 것과 관계를 가지고 두 번째 것이 세 번째 것과 바로 그 관계를 가진다는 사실이 첫 번째 것이 세 번째 것과 그 관계를 가진다는 것을 배제시킬 때 그 관계는 비이행적이다. 다음 논증은 "...의 어머니"라는 관계가 비이행적이기 때문에 타당하다:

 

순이는 영희의 어머니다.

영희는 미숙이의 어머니다.

----------------------

순이는 미숙이의 어머니가 아니다. (∵할머니)

 

 

비이행적 관계의 또 다른 예로서는 "...의 아버지"와 "...의 두 배"가 있다. 어떤 관계들은 이행적이지도 비이행적이지도 않다. ("이행적이다"와 "비이행적이다"는 서로 모순이 아니라 반대되는 용어이다.) 이러한 관계들은 미이행적 관계(nontransitive relation)라 불린다. 만약 첫 번째 것이 두 번째 것과 어떤 미이행적 관계로 관련되고 두 번째 것이 세 번째 것과 그 관계를 가진다면 첫 번째 것은 세 번째 것과 그 관계를 가질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.

"...의 사촌"은 미이행적 관계이다. 만약 토니가 강타의 사촌이고 강타는 태지의 사촌이면 토니는 태지의 사촌일 수도 있고 아닐 수도 있다. 첫 번째 것과 두 번째 것 그리고 두 번째 것과 세 번째 것 사이의 미이행적 관계에 근거해서는 첫 번째 것과 세 번째 것 사이의 관계에 관한 어떠한 결론도 이끌어 낼 수 없다. 미이행적 관계의 또 다른 예로서는 "...와 같은 수업을 듣는다," "...의 친구이다," "사랑한다" 등등이 있다.

지금까지 언급된 모든 관계들은 두 사물(혹은 두 사람) 사이의 관계이다. 이러한 관계들은 이항관계(binary relation)라 불린다. 이항관계에 의해 관련되는 두 사물을 그 관계의 항(term)들이라 부른다. 그러나 모든 관계가 이항관계인 것은 아니다. "로미오는 그의 책을 줄리엣에게서 돌려 받았다"에서는 세 개의 항, 즉 로미오, 그의 책, 그리고 줄리엣의 삼항관계를 가진다. 그리고 다음 문장은 사항관계를 포함한다: "20세기 폭스사는 심형래에게 용가리 속편을 위한 자금을 지원하였다." 비록 오항 이상의 관계를 포함하는 일상언어 문장들을 구성하려면 어색해 지지만 이론적으로는 어떠한 수의 항이라도 관계를 맺을 수 있다. 복잡함을 피하면서 이항관계의 중요한 속성들에 주목하기 위해 이 장에서는 오직 두 개의 항만이 관계되는 이항관계에만 집중하기로 하자. 우리가 이항관계에 집중하게 되면 다음 문장은 참이 된다. 모든 관계는 다음 범주 가운데 정확히 하나에 해당한다: 이행적, 비이행적, 미이행적.

II절의 논증 (2)에서 언급된 관계("보다 키가 크다")는 이행적 관계이다. 그러나 그 논증의 타당성은 그 관계의 이행성에 의존하는 게 아니라 그것의 또 다른 속성에 의존한다. "보다 키가 크다"는 비대칭적 관계(asymmetric relation)이다. 만약 첫 번째 것이 두 번째 것과 어떤 비대칭적 관계에 의해 관련되면, 두 번째 것은 첫 번째 것과 그런 식으로 관련되지 않는다. "보다 나이가 많다," "보다 작다," "보다 무겁다," "...의 어머니" 등은 비대칭적 관계의 예들이다. 첫 번째 것이 두 번째 것과 어떤 관계를 가진다는 사실이 두 번째 것이 첫 번째 것과 바로 그 관계를 가진다는 것을 함축할 때 그 관계는 대칭적 관계(symmetric relation)라 불린다. "...와 똑같다," "...와 무게가 같다," "...와 똑같지 않다," "...의 형제" 등은 대칭적 관계의 예들이다. 첫 번째 것이 두 번째 것과 어떤 관계를 가진다는 사실이 두 번째 것이 첫 번째 것과 그 관계를 가진다는 것을 함축하지도 배제하지도 않는 관계는 미대칭적 관계(nonsymmetric relation)라 불린다. "...의 남자형제"라는 관계가 바로 그 예이다. 두 사람은 첫 번째 사람이 두 번째 사람의 남자형제이면서 두 번째 사람이 첫 번째 사람의 남자형제가 아니게끔 관련될 수 있다(두 번째 사람이 여자일 때). 물론 두 사람 모두 남자일 경우에는 첫 번째 사람이 두 번째 사람의 남자형제이면 두 번째 사람도 첫 번째 사람의 남자형제이다. 임의로 선택된 두 사람에 대해 어느 상황이든 가능하기 때문에 "...의 남자형제"는 미대칭적 관계인 것이다.

모든 이항관계는 다음 범주 중 정확히 하나에 해당한다: 대칭적, 비대칭적, 또는 미대칭적. 만약 어떤 개인 또는 사물이 그 자신과 어떤 관계에 의해 관련될 때 그 관계는 반사적(reflexive)이라고 불린다. 명백히 "...와 동일하다"는 반사적 관계이다. 왜냐하면 모든 것은 그 자신과 동일하기 때문이다. 반사적 관계의 다른 예로서는 "...와 동치이다," 그리고 "...와 똑같은 색이다" 등이 있다.

만약 어떤 관계가 어떠한 개인 또는 사물도 자기 자신과 그 관계로 관련될 수 없을 때 그 관계는 비반사적(irreflexive)이라 불린다. 비반사적 관계의 예로서는 "똑같지 않다," "다르다," "보다 크다" 등이 있다.

어떤 관계들은 미반사적(nonreflexive)이다. 개인 또는 사물은 그 자신과 그러한 관계를 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있다. "사랑하다"가 그 예인데, 왜냐하면 어떤 사람들은 자신들을 사랑하지만 다른 사람들은 그렇지 않기 때문이다. 어떤 관계에 의해 관련되는 "두 개의" 사물이 하나의 똑같은 사물일 때 그 관계를 이항관계라고 간주하는 것은 좀 이상하게 들린다. 그러나 어떤 것이 그 자신과 어떤 관계를 가진다거나 가지지 않는다고 말하는 것은 명백히 의미가 있다. 일반적으로 임의의 이항관계에서 항들은 반드시 다른 개체들을 가리킬 필요는 없다.

 

< 연 습 문 제 >

 

1. 다음 관계들 각각이 다음 범주 가운데 어느 것에 해당하는지 말하라.

(1) 이행적, 비이행적, 미이행적

(2) 대칭적, 비대칭적, 미대칭적

(3) 반사적, 비반사적, 미반사적

 

가. 사랑하다

나. 사촌이다

다. 속하다

라. 처럼 보이다

마. 보다 작다.

바. 보다 선호되다

사. 보다 잘하다.

아. 보다 키가 크다.

자. 와 동일하다

차. 동갑이다.

카. 보다 아름답다.

 

2. 열 개의 이항관계를 예로 든 다음에 위의 범주에 의해 구분하라.

 

 

IV. 양화사에 의한 관계의 표현

 

아리스토텔레스는 추론의 원칙들을 형식화할 때 집합개념(class term)을 표시하기 위해 변항(알파벳 문자)을 사용하였다. 이렇게 변항을 사용하게 되면 원칙들의 표현이 단순해지며 논증의 형식적 특성을 파악하기 용이해진다. 진리함수적 논리에서 문장을 표시하기 위해 문자를 사용한 것은 20세기의 혁신이었다. 다음의 두 가지 전건긍정의 형식화를 비교해 보면 이러한 장치를 사용함으로써 얼마만큼의 단순성을 얻을 수 있는지 실감할 수 있을 것이다:

 

p → q

p

-------

q

 

이것과 고대 스토아학파 논리학자들의 다음 형식화를 비교해 보라:

 

만약 첫 번째 것이면 두 번째 것이다.

첫 번째 것이다.

----------------------------------

그러므로 두 번째 것이다.{{) Benson Mates, Elementary Logic, p. 214.

}}

 

진리함수적 논증형식이 많은 단순문장들을 포함하고 있을 때 문장문자의 사용은 더욱 매력적인 것이 된다. ("첫 번째 것," "두 번째 것," "세 번째 것," 등의 표현을 사용해서 양도논법(dilemma)의 논증형식 표현해 보라.)

20세기에 논리의 기호화가 이루어짐으로써 우리는 관계의 속성들을 엄밀한 방식으로 표현할 수 있게 되었다. 현대 논리학자들이 공통으로 사용하는 기호언어들은 정언적 삼단논법의 적절한 형식화를 제공했을 뿐 아니라 진리함수적 논증, 삼단논법적 논증, 그리고 관계적 논증들간의 중요한 논리적 유사성을 밝혀주었다.

다음 절들에서 우리는 일상언어 표현을 인공적인 기호언어로 번역하는 것에 관해 논의할 것이다. 이러한 번역은 일상언어로 표현될 수 있는 모든 뉘앙스를 파악하려고 의도된 것이 아니다. 그것의 목적은 논증의 타당성을 결정하는 데 중요한 특징들을 확인하려는 것이다. 앞으로 소개될 기호들은 그러한 특징들만을 파악하려고 마련된 것들임을 일러둔다.

번역이 가능하기 위해서는 인공언어의 기호들이 해석되지 않으면 안 된다. 해석(interpretation)은 진리조건(인공언어의 문장들이 참 또는 거짓이 되는 조건)들이 명확하게 제시되는 범위 안에서 그 기호들에 의미를 부여한다. 우리는 이미 진리함수적 논리에서 (진리표를 사용해서) 기호들을 해석한 바 있다. 여기에서도 똑같은 연결사들이 사용될 것이기 때문에 다음을 통해 기억을 되살리자("p"와 "q"는 문장문자들이다):

 

1. "∼p"는 p가 거짓인 경우 그리고 오직 그 경우에만 참이다.

2. "(p∨q)"는 "p"와 "q"가 둘 다 거짓이면 거짓이고 그렇지 않으면 참이다.

3. "(p·q)"는 "p"와 "q"가 둘 다 참이면 참이고 그렇지 않으면 거짓이다.

4. "(p→q)"는 "p"가 참이고 "q"가 거짓이면 거짓이고 그렇지 않으면 참이다.

5. "(p↔q)"는 "p"와 "q"가 똑같은 진리값을 가지면 참이고 그렇지 않으면 거짓이다.

 

해석의 다른 특징들은 그때그때 언급될 것이다.

 

 

1. 보편양화사의 기호화

 

전칭긍정 형식 "모든 S는 P이다"에서 "모든"은 보편양화사(universal quantifier)라 불린다. 우리는 9장에서 전칭긍정 문장의 논리적 구조와 다양한 표현방식을 공부한 바 있다. 현대 기호논리학에서 전칭긍정은 일종의 조건문으로 표현된다.

 

만약 어떠한 것이라도 S이면 그것은 P이다.

 

또 다른 형식화는 다음과 같다:

 

임의의 개체(개인, 장소, 또는 사물)에 대해, 만약 그것이 S이면 그것은 P이다.

 

보편양화사는 알파벳 소문자를 (x, y, z부터) 괄호에 넣어 기호화하는 게 보통이다. 다음 예들을 살펴보자:

 

(x) : "임의의 x에 대해"라고 읽어라.

(y) : "임의의 y에 대해"라고 읽어라.

(z) : "임의의 z에 대해"라고 읽어라.

 

전칭긍정 문장을 기호화할 때 똑같은 개체임을 지시하는 "그것"과 같은 대명사 자리에 양화사에 있는 것과 똑같은 문자가 사용된다. 따라서 "임의의 개체에 대해, 만약 그것이 S이면 그것은 P이다"를 기호화하기 위해 우리는 다음과 같이 쓴다: (x)(Sx→Px)

괄호로 양화사 다음에 나오는 표현을 에워싸는 것은 이 표현에 있는 x들이 그 표현 앞에 있는 양화사의 영향권 범위 안에 있음을 표시하기 위함이다. 이런 식으로 사용되는 문자들은 개체변항(individual variable)이라 불린다. 그리고 개체들의 집합을 나타내기 위해 사용되는 대문자는 술어문자(predicate letter)라고 한다.

이제 "모든 가수는 연예인이다"라는 일상언어의 정언적 문장을 가급적 그 의미를 충실히 반영하는 기호적 문장으로 번역한다고 가정해보자. 첫 번째 해야할 일은 해석의 논의영역(domain), 즉 우리가 인공언어에서 언급하게 될 모든 개체들의 집합을 명시하는 것이다. 이러한 논의영역은 해석마다 다를 수 있다. 어떤 상황에서 우리는 수(number)에 대해서만 이야기할 수 있고 다른 상황에서는 사람들에 대해서만 이야기할 수도 있다. 해석의 논의영역은 개체들의 비공집합이면 무엇이든 상관없다. 편의상 이 장에서는 별도의 언급이 없는 한 모든 개체들의 집합을 해석의 논의영역으로 채택할 것이다. (이러한 논의영역의 구성원들은 모든 사람들, 사물들, 수들 등등이다.)

술어문자는 논의영역에 있는 개체들의 집합을 가리키는 것으로 해석될 것이다. "모든 가수는 연예인이다"라는 문장을 번역하려면 하나의 술어문자를 가수들의 집합을 가리키는 것으로서 해석하고 다른 하나의 술어문자는 연예인들의 집합을 가리키는 것으로서 해석할 필요가 있다. 우리는 S를 가수들의 집합으로, E를 연예인들의 집합으로 해석할 것이다. 그러면 그 문장은 다음과 같이 번역될 수 있다: (x)(Sx→Ex)

전칭부정 문장("어떠한 S도 P가 아니다")은 전칭긍정 문장과 비슷한 구조를 갖고 있으며 다음과 같이 기호화된다: (x)(Sx→∼Px) ("임의의 개체에 대해, 만약 그것이 S이면 그것은 P가 아니다"). "어떠한 치와와도 군견이 아니다"라는 문장을 번역하기 위해 우리는 다음과 같이 해석한다:

C: 치와와들의 집합

G: 군견들의 집합

 

그리고 다음과 같이 쓴다: (x)(Cx→∼Gx)

 

 

2. 존재양화사의 기호화

 

양화사 "어떤(some)"은 존재양화사(existential quantifier)라 불린다. 특칭긍정문장과 특칭부정문장은 어떤 개체가 존재한다는 것과 아울러 그 개체가 어떤 속성을 가지고 있거나 가지고 있지 않다는 것을 주장한다. 이러한 문장들은 존재적 함축(existential import)을 지닌다고 말한다. 보편문장들은 어떠한 것의 존재도 주장하지 않기 때문에 존재적 함축을 지니지 않는다. I문장과 O문장은 보편문장과 다른 구조를 가진다. 그것들은 조건문보다는 연언문과 비슷하다:

 

I: 어떤 S는 P이다. S이면서 또한 P인 어떤 개체가 있다.

O: 어떤 S는 P가 아니다. S이면서 P는 아닌 어떤 개체가 있다.

 

존재양화사는 "E"자의 좌우를 바꿔 쓴 다음에 개체변항을 쓰고 괄호를 친 것이다: (∃x). 존재적, 또는 특칭 긍정적인 정언적 문장을 기호화하면 다음과 같다: (∃x)(Sx·Px). 이것은 "S이고 P인 그러한 어떤 x가 존재한다"라고 읽는다. 존재적(특칭) 부정 정언문장을 기호화하면 다음과 같다: (∃x)(Sx·∼Px). 그리고 이것은 "S이지만 P는 아닌 그러한 어떤 x가 존재한다"라고 읽는다.

 

< 연 습 문 제 >

 

술어문자에 대한 적절한 해석을 제시한 후 다음 문장들을 기호언어로 번역하라.

 

1. 어떤 개는 벼룩이다.

 

2. 어떤 고양이는 독립적이지 않다.

 

3. 어떠한 개도 채식주의자가 아니다.

 

4. 모든 고양이는 독립적이다.

 

5. 야생 고양이들이 있다.

 

6. 고양이는 네 발 짐승이다.

 

7. 모든 개가 짖는 것은 아니다.

 

8. 모든 개는 짖고 모든 고양이는 운다.

 

9. 어떤 고양이는 짖지만 어떤 고양이는 짖지 않는다.

 

10. 개와 고양이는 훌륭한 애완동물이다.

 

11. 어떤 고양이들이 야생이면 어떤 고양이들은 길들어졌다.

 

12. 어떠한 개도 고양이가 아니면 어떠한 고양이도 개가 아니다.

 

3. 관계적 문장의 기호화

 

약간 수정만 하면 정언적 문장을 나타내기 위해 사용되는 기호들이 관계를 표현하는 데 사용될 수 있다. 정언적 문장에 등장하는 집합개념은 일항술어로 생각할 수 있다. 기호를 사용함으로써 우리는 술어문자 S 뒤에 하나의 개체변항 x를 써서 어떤 개체 x가 집합 S의 원소라는 것을 표현한다. 비슷한 방식으로 이항관계는 이항술어로 생각할 수 있다. 기호를 사용함으로써 술어문자 R 뒤에 적절한 순서로 두 개의 변항 x, y를 써서 어떤 개체 x가 개체 y와 R이라는 관계에 있다는 것을 표현한다: Rxy.

이항술어 문자는 해당 관계에 의해 관련되는 개체들의 순서쌍들의 집합을 가리키는 것으로 해석된다. 예를 들어 우리는 술어문자 "L"을 순서쌍의 첫 번째 원소가 순서쌍의 두 번째 원소를 사랑하는 그러한 모든 개체들의 순서쌍들의 집합을 가리키는 것으로 해석할 수 있다. 그러한 해석을 명시할 때 우리는 다음과 같은 표기법을 사용한다:

 

L: 는 . . .를 사랑한다

 

양화사, 술어문자, 그리고 개체변항을 사용함으로써 관계를 포함하는 일반화 문장들이 기호로 표현될 수 있다. 가령 만약 "L"을 위에서처럼 해석한다면, 우리는 "모든 것은 모든 것을 사랑한다"를 다음과 같이 번역할 수 있다: (x)(y)(Lxy).

만약 우리가 "모든 사람은 모든 사람을 사랑한다"라는 문장을 번역하고자 한다면, 사람들의 집합을 나타내는 집합문자를 사용할 필요가 있다. 만약 P를 이런 식으로 해석한다면 그 문장은 다음과 같이 번역된다: (x)(y)((Px·Py)→Lxy). 그리고 이것은 "임의의 x 그리고 임의의 y에 대해, 만약 x가 사람이고 y도 사람이면 x는 y를 사랑한다."라고 읽는다. 여기서 만약 우리가 해석의 논의영역을 모든 사람들의 집합으로 제한하기로 했다면 "모든 사람은 모든 사람을 사랑한다"라는 문장은 다음과 같이 번역된다는 것에 주목하자: (x)(y)(Lxy).

"L"에 대해 위와 똑같은 해석이 주어졌을 때 "어떤 것은 어떤 것을 사랑한다"는 다음과 같이 번역된다: (∃x)(∃y)(Lxy). 다시 "P"를 사람들의 집합으로 해석하고 "L"을 사랑한다는 것으로 해석하면 "어떤 사람은 어떤 사람을 사랑한다"라는 문장은 다음과 같이 번역된다: (∃x)(∃y)(Px·Py·Lxy).

관계에 대한 일반화와는 대조적으로 "순이는 영희의 엄마다"와 같은 문장들은 어떤 특정한 개체가 다른 개체와 관련된다는 것을 진술한다. 우리의 기호언어에서 알파벳 소문자들(a ∼ t)은 개체들을 가리키는 것으로 해석된다. 개체상항(individual constants)이라 불리는 이들 문자들은 일상언어에서 고유명사가 하는 역할을 기호언어에서 수행한다. 예컨대 "소크라테스는 죽는다"라는 문장은 소크라테스를 "s"로, 죽는 것들의 집합을 M으로 기호화해서 다음과 같이 쓴다: Ms.

역사상 가장 중요한 철학자 중 한 사람인 소크라테스는 크산티페와 결혼했다. 우리가 "H"를 " 는 ...의 남편이다"를 가리키는 것으로, "s"는 소크라테스를 가리키는 것으로, 그리고 "a"는 크산티페를 가리키는 것으로 해석하면

Hsa

는 참이다. 왜냐하면 이것은 소크라테스가 크산티페의 남편이라고 말하고 있기 때문이다. 똑같은 해석 하에서

Has

는 거짓이다. 왜냐하면 이것은 크산티페가 소크라테스의 남편이라고 말하고 있기 때문이다. 명백히 "...의 남편"은 비대칭적 관계이다.

양화사, 개체변항, 그리고 이항술어를 사용해서 우리는 이항관계의 중요한 속성들을 편리하고 정확하게 특징지울 수 있다. R이 어떤 이항관계이면 우리는 R의 다음 속성들 중 어떤 것이라도 기호적으로 표현할 수 있다.

 

1. R은 반사적이다: (x)Rxx

위 기호식은 다음과 같이 읽는다: "임의의 것에 대해, 그것은 자기 자신과 관계 R을 갖 는다."

2. R은 비반사적이다: (x)(∼Rxx) "임의의 것에 대해, 그것은 자기 자신과 관계 R을 갖지 않는다."

3. R은 미반사적이다: ∼(x)(Rxx)·∼(x)(∼Rxx) "R이 반사적이지 않고 R이 비반사적이지 도 않다." (또는 R은 반사적이지도 비반사적이지도 않다.)

4. R은 대칭적이다: (x)(y)(Rxy→Ryx) "(반드시 다를 필요는 없는) 임의의 x 그리고 임의 의 y에 대해, 만약 x가 y와 관계 R을 가지면 y는 x와 관계 R을 가진다."

5. R은 비대칭적이다: (x)(y)(Rxy→∼Ryx) "(반드시 다를 필요는 없는) 임의의 x 그리고 임의의 y에 대해, 만약 x가 y와 관계 R을 가지면 y는 x와 관계 R을 갖지 않는다."

6. R은 미대칭적이다: ∼(x)(y)(Rxy→Ryx)·∼(x)(y)(Rxy→∼Ryx) "R은 대칭적이지도 않 고 R은 비대칭적이지도 않다."

7. R은 이행적이다: (x)(y)(z)((Rxy·Ryz)→Rxz) "(반드시 다를 필요는 없는) 임의의 세 개 체 x, y, z에 대해, 만약 첫 번째 것이 두 번째 것과 관계 R을 가지고 두 번째 것이 세 번째 것과 관계 R을 가지면 첫 번째 것은 세 번째 것과 관계 R을 가진다."

8. R은 비이행적이다: (x)(y)(z)((Rxy·Ryz)→∼Rxz) "(반드시 다를 필요는 없는) 임의의 세 개체 x, y, z에 대해, 만약 첫 번째 것이 두 번째 것과 관계 R을 가지고 두 번째 것 이 세 번째 것과 관계 R을 가지면 첫 번째 것은 세 번째 것과 관계 R을 갖지 않는다."

 

< 연 습 문 제 >

 

다음 각 문장을 기호로 표현하고 필요하다면 기호에 대한 해석을 제시하라. 그리고 해석의 논의영역을 명시하는 것을 잊지 않도록 하자.

 

1. R은 미이행적이다.

 

2. 소라는 어떤 사람을 사랑한다.

 

3. 동엽은 자기 자신을 사랑한다.

 

4. 동엽은 그 자신과 소라를 사랑한다.

 

5. 소라는 동엽을 사랑하지 않는다.

 

6. 어떤 사람이 소라를 사랑한다.

 

7. 모든 사람은 동엽을 사랑한다.

 

8. 아무도 동엽을 사랑하지 않는다.

 

9. 소라는 누구도 사랑하지 않는다.

 

10. 모든 사람이 동엽을 사랑하거나 모든 사람이 소라를 사랑한다.

 

11. 모든 사람이 자기 자신을 사랑하는 것은 아니다.

 

12. 어떤 사람은 그 자신을 사랑하지 않는다.

 

 

4. 복수 양화사(Multiple Quantifiers)

 

관계에 관한 대부분의 일반화를 기호화하기 위해 우리는 하나 이상의 양화사를 사용해야만 한다. 예를 들어 어떤 관계의 이행성을 진술하려면 세 개의 양화사가 필요하다. 복수 양화사가 모두 똑같은 유형의 것일 때(즉 모두 보편양화사이거나 모두 존재양화사일 때) 그것들의 위치는 상관이 없다. 다음 각 경우에서 R이 똑같은 식으로 해석된다고 하면 다음 각 경우는 의미의 차이가 없다:

(x)(y)(z)((Rxy·Ryz)→Rxz)

(y)(x)(z)((Rxy·Ryz)→Rxz)

(z)(y)(x)((Rxy·Ryz)→Rxz)

 

마찬가지로

(∃x)(∃y)(Rxy·Ryx)

와

(∃y)(∃x)(Rxy·Ryx)

사이에도 의미의 차이가 없다.

그러나 하나의 표현에 두 유형의 양화사가 함께 있을 때는 양화사의 순서가 바뀌면 의미가 보존되지 않을 수 있기 때문에 주의해야 한다. "모든 사람은 어머니를 갖고 있다."라는 문장을 고려해 보자. 우리의 논의영역을 사람들의 집합으로 제한하자.

 

M: 는 . . .의 어머니다.

 

그 문장에 대한 기호 표현은 다음과 같다:

 

(x)(∃y)(Myx)

 

M에 대한 주어진 해석에 기초해서 위 기호 문장은 다음과 같이 읽을 수 있다:

 

임의의 x에 대해, y가 x의 어머니인 어떤 y가 존재한다.

 

다른 말로, 위 문장은 임의의 사람에 대해 그 사람의 어머니인 어떤 사람이 존재한다고 말한다. 모든 사람은 각기 어머니를 가지고 있으므로 이 문장은 참이다.

만약 양화사의 순서가 바뀌게 되면 위 기호 문장은 다음과 같이 된다.

 

(∃y)(x)(Myx)

 

M에 대한 주어진 해석에 기초해서 위 문장은 다음과 같이 읽을 수 있다:

 

임의의 x에 대해 y가 x의 어머니인 그러한 어떤 y가 존재한다.

 

다른 말로, 어떤 사람이 모든 사람의 어머니라는 것이다! 그것은 모든 사람의 어머니인 사람이 적어도 1명 있다는 것을 뜻하므로 명백히 거짓이다. 따라서 양화사의 순서가 다르기만 해도 표현의 의미는 다를 수 있는 것이다.

 

< 연 습 문 제 >

 

사람들의 집합을 해석의 논의영역으로 하고 "L"을 " 는 . . .를 사랑한다"로 해석해서 다음 각 문장을 기호언어로 표현하라.

 

1. 모든 사람은 누군가를 사랑한다.

 

2. 아무도 모든 사람을 사랑하지는 않는다.

 

3. 아무도 누군가를 사랑하지 않는다.

 

4. 어떤 사람은 모든 사람을 사랑한다.

 

5. 아무도 그 사람을 사랑하지 않는 어떤 사람이 존재한다.

 

 

5. 모든의 오류(The Fallacy of Every and All)

 

모든 것은 어떤 원인의 결과로서 일어난다고 믿어졌고 믿어지고 있다. 고대에는 "모든 것은 어떤 원인을 가진다"라는 주장이 모든 것의 "최초 원인(first cause)"이 있다는 것을 추론하기 위한 전제로 사용되었다. 그런데 만약 이러한 논증이 타당하다면 그것은 다음과 같은 형식이 아닌 어떤 다른 형식의 사례임에 틀림없다:

 

(x)(∃y)(Cyx)

------------

(∃y)(x)(Cyx)

 

왜냐하면 이 형식은 부당하기 때문이다. 의도된 해석(C: 가 . . .의 원인이다)에 근거했을 때 위 기호화는 그 논증의 정당한 번역을 제공한다. 그러나 전제가 명백히 참이면서 결론이 명백히 거짓이게끔 C를 해석하는 것도 가능하다(C: 가 . . .의 어머니이다). 그 논증형식의 한 사례, 즉 (해석의 논의영역이 모든 사람들의 집합일 때) 다음 논증이 부당하기 때문에 그 형식 자체는 부당하다

모든 사람은 어머니를 가진다.

----------------------------------

어떤 사람은 모든 사람의 어머니이다.

 

한 논증형식이 타당한 것이려면 비논리적 기호들(연결사와 양화사를 제외한 기호들)을 어떻게 해석하더라도 타당한 논증이 되어야 한다.

이러한 오류 논증형식은 모든의 오류(fallacy of every and all)라고 불린다. 그런데 우리는 어떤 오류 논증형식의 사례인 어떤 논증이 부당한 논증이 아닐 수도 있다는 것을 명심해야 한다. 논증은 그것이 어떠한 타당한 논증형식의 사례도 아닌 경우에만 부당하다. 그래도 우리는 진리함수적 논증에서처럼 어떤 논증이 부당한 형식의 사례일 때 그리고 그것이 어떤 타당한 형식의 사례라는 것이 입증되지 않았을 때 그것의 부당성을 의심해볼 필요가 있다.

최초 원인 또는 "제일의 원동자(prime mover)"의 존재를 위한 아리스토텔레스의 논증은 실제로 적어도 하나의 추가 전제를 포함하였다: 원인과 결과의 무한한 연쇄는 불가능하다는 것. 우리는 원인의 무한소급을 거부하는 아리스토텔레스의 주장, 즉 어떠한 다른 원인의 결과도 아닌 어떤 원인이 있음에 틀림없다는 주장을 기호화할 수 있다:

(∃y)((∃x)(Cyx)·∼(∃z)(Czy)): y가 어떤 x의 원인이고 어떠한 z도 y의 원인이 아닌 y가 있다.

그러나 이러한 추가 전제가 있어도 단 하나의 최초 원인이 있다는 결론은 따라나오지 않는다. 왜냐하면 하나가 넘는 "원인없는 원인"이 있을 수 있기 때문이다. ("어떤"은 "적어도 하나"를 의미하지 "정확히 하나"를 의미하는 것은 아니다.)

비록 고대 그리스어를 번역하는 것에 얽힌 문제 때문에 그리고 초기 문헌이 변화를 겪었고 불완전하기 때문에 아리스토텔레스의 논증을 분석하기란 여간 어렵지 않지만, 많은 해석가들은 하나 이상의 맥락에서 아리스토텔레스가 모든의 오류를 범했다고 주장한다. 모든 행위에 "최고선(Supreme Good)"이라 불리는 정확히 하나의 목적이 있다는 결론을 지지하기 위해 모든 행위는 궁극적인 목적을 가진다는 전제를 사용한 것에 대해 논평하면서 한 현대철학자는 논리학의 창시자를 옹호하면서 다음과 같이 말했다:

 

이것은 그 자신의 형식논리의 범위를 넘어서는 추리(관계논리)의 일종이다. 이러한 이유로 그는 이러한 오류에 의해 보다 쉽게 기만당했을 것이다.{{) D.J. O'Connor, "Aristotle," in A Critical History of Western Philosophy, edited by D.J. O'Connor.

}}

 

 

V. 논증의 기호화

 

현대 기호논리학의 장점 중 하나는 다양한 논증의 유형들 간의 중요한 구조적 유사성을 드러내 준다는 것이다. 예를 들어 다음 준삼단논법(quasi-syllogism)을 살펴보자:

 

모든 공주는 외롭다.

김자옥은 공주다.

------------------

김자옥은 외롭다.

 

이것은 다음 해석에 기초한다:

 

P: 공주들의 집합

L: 외로운 사람들의 집합

k: 김자옥

 

위 논증은 다음과 같이 번역된다:

 

(x)(Px → Lx)

Pk

------------

Lk

 

위 형식은 다음과 같은 전건긍정 형식과 비슷하다:

p → q

p

------------

q

우리는 또한 보편적 일반화(universal generalization)가 해석의 논의영역에 있는 모든 개체들에 대해 무언가를 말하는 문장이라는 사실을 고려할 수 있다. 만약 보편적 일반화가 말하는 것이 그 논의영역에 있는 모든 개체들에 대해 성립한다면, 그것은 그 논의영역에 있는 어떠한 특정한 개체에 대해서도 성립한다. 가령 주어진 해석에 기초해서 만약

(x)(Px → Lx)

가 참이면,

Pk → Lk

도 참이다.

만약 우리가 위 논증에서 첫 번째 전제를 일반화의 특정한 사례인 "Pk→Lk"로 바꾸면 그 논증은 다음과 같이 된다:

Pk → Lk

Pk

----------

Lk

 

이것은 명백히 전건긍정과 똑같은 형식이며 따라서 타당한 논증형식이다. 따라서 원래의 준삼단논법은 타당하다. 준삼단논법의 논증형식의 타당성을 이런 식으로 결정하는 방법은 9장에서 다뤄졌던 것보다는 덜 임의적인 것처럼 보인다. 거기서는 "김자옥은 공주다"와 같은 문장들이 보편적 일반화로서 취급되었었다: "김자옥이 유일한 원소인 집합의 모든 원소들은 공주다." 이 방법은 보편적 일반화가 존재적 함축이 없으므로 다소 인위적인 것으로 보인다. 그러나 "김자옥은 공주다"라는 문장은 일상적으로 만약 그녀가 존재하지 않는다면 거짓인 것으로 여겨질 것이다.

양화사를 이용하는 논리체계에 관한 상세한 논의는 이 책의 범위를 넘는다. 그러나 이러한 모든 체계들이 보편양화된 문장으로부터 그것들의 개별적인 사례로 나아갈 수 있도록 해주는 추론규칙을 가진다는 것은 주목할 만하다. 그리고 추가적인 규칙들은 존재양화사를 제거할 수 있게 해주고 또 두 종류의 양화사를 바꿀 수 있게 해준다. 이러한 점을 염두에 두고 다음의 삼단논법적 논증형식과 진리함수적 논리에서의 가언적 삼단논법 논증형식 사이의 유사성을 살펴보도록 하자:

 

(x)(Sx→Mx) p → q

(x)(Mx→Px) q → r

------------ -------

(x)(Sx→Px) p → r

 

 

기호언어를 사용하면 삼단논법적 논증, 진리함수적 논증, 그리고 관계적 논증 사이의 유사성이 보다 분명하게 드러난다. 예를 들어, "슈퍼맨은 배트맨보다 빠르고 배트맨은 원더우먼보다 빠르다. 그러므로 슈퍼맨은 원더우먼보다 빠르다"라는 논증의 타당성은 "보다 빠르다"라는 것이 이행적 관계라고 하는, 참이지만 진술되지 않은 전제에 의존한다. 그 논증은 다음 해석에 의해 기호화될 수 있다:

 

F: 는 . . .보다 빠르다

s: 슈퍼맨 b: 배트맨 w: 원더우먼

 

(x)(y)(z)((Fxy·Fyz)→Fxz)

Fsb ·Fbw

-------------------------

Fsw

 

여기서도 기호언어는 이러한 형식과 전건긍정 사이의 유사성을 보여준다.

현대논리학에서 기호적 장치의 가치는 과소평가되어선 안 된다. 적절한 기호의 사용은 수학에서 로마자 숫자의 체계를 아라비아 숫자의 체계로 바꿈으로써 얻게 된 것에 비견할 만한 성과와 발전을 가능하게 해주었다.

 

 

VI. 복습

 

10장에서는 타당성이 논증에서 언급된 이항관계의 속성들에 의존하는 논증들을 살펴보았다. 또한 이러한 논증의 형식을 표현하기 위한 현대 기호논리학의 장치들을 살펴보았고 아울러 이러한 논증형식들이 어떻게 진리함수적 논증형식과 비슷한지를 살펴보았다. 모든 이항관계는 다음 범주들 가운데 정확히 하나에 해당한다:

 

1. 이행적, 비이행적, 미이행적.

2. 대칭적, 비대칭적, 미대칭적.

3. 반사적, 비반사적, 미반사적.

 

여러분은 이항관계의 이러한 속성들의 정의를 확실히 파악하고 있어야 하며 다양한 이항관계들을 이러한 범주들로 분류할 수 있어야 한다. 타당성이 논증에서 언급된 관계의 속성에 의존하는 여러 논증에서 전제에 그러한 속성에 관한 진술은 대체로 포함되지 않는다. 여러분은 그러한 진술되지 않은 전제를 인식하고 논증을 재구성할 때 그것들을 보충해 넣을 수 있어야 한다.

또 여러분은 정언적 문장과 관계를 포함하는 문장들을 일상언어에서 기호언어로 번역함으로써 그것들의 논리적 구조를 드러낼 수 있어야 한다. 이를 위해 여러분은 보편문장은 양화된 조건문이라는 것과 존재문장은 양화된 연언문이라는 것을 기억할 필요가 있다.

끝으로 여러분은 모든의 오류의 사례들을 알아차릴 수 있어야 한다. 이러한 오류는 보편양화사와 존재양화사를 포함하는 문장이 그 양화사들의 순서가 바뀌어도 참이 보존되는 것처럼 다루어질 때 발생한다. 그러한 문장을 기호화할 수 있다면 여러분은 이러한 오류를 피할 수 있을 것이다.