제9장 정언 삼단논법

Ⅰ. 서론

Ⅱ. 정언문장

1. 대당사각형(The Square of Opposition)

2. 현대의 대당사각형

Ⅲ. 표준 정언형식으로서의 일상 언어 문장 번역

1. A문장

2. E문장

3. I문장

4. O문장

Ⅳ. 벤 다이어그램을 이용한 타당성 검토

Ⅴ. 개념들의 주연(Distribution of terms)

Ⅵ. 삼단논증의 타당성 검토 규칙

1. 타당한 삼단논증이 되기 위한 세 가지 규칙

2. 타당성을 검토하기 위한 규칙들의 사용 예

Ⅶ. 삼단논증 안에서 개념들의 수 줄이기

Ⅷ. 일상어논증을 삼단논증으로 재구성하기

Ⅸ. 준삼단논법과 연환식(Quasi-Syllogism and Sorites)

Ⅹ. 요약 및 정리

 

 

Ⅰ. 서론

 

연역적 타당성에 관한 앞장에서 우리는 다음과 같은 명백히 타당한 논증들의 예를 보았었다.

 

(a) 어떠한 새도 포유동물이 아니다.

모든 박쥐는 포유동물이다.

------------------------------

어떠한 새도 박쥐가 아니다.

 

(b) 모든 새는 날 수 있다.

어떤 포유동물은 날 수 없다.

-------------------------------

어떤 포유동물은 새가 아니다.

 

(c) 모든 대통령은 정치꾼(politician)이다.

어떤 대통령은 정치가(statesman)이다.

----------------------------------

어떤 정치가는 정치꾼이다.

 

이러한 각각의 논증들은 '정언 삼단논법'이라 불리는 유형의 논증이다. 우리의 일상적인 대화 속에서 이와 같은 표준적인 형식으로 표현된 논증을 만나기란 그리 쉬운 일이 아니다.

삼단논법 추론은 수많은 이유들 때문에 공부할 만한 가치가 있다. 위와 같은 논증들이 비록 완전한 형태로 자주 말해지는 것은 아니지만, 일상 생활 속에서 수행하는 우리의 추론 가운데에는 상당수 이러한 삼단논법 추론이 포함되어 있다. 우리는 어려서부터 삼단논법에 노출되어 있다. '왜(Why)'로 시작되는 아이들의 질문에 대한 답변은 종종 삼단논법 논증과 같은 것으로 구성된다. 예를 들면,

 

(a) 왜 병아리는 깃털이 있어요?

왜냐하면 그것은 새이고, 모든 새는 깃털을 갖고 있기 때문이란다.

 

(b) 모든 새가 다 날아요?

아니, 타조는 새이긴 하지만, 그래도 날지 못한단다.

 

모든 삼단논법 논증이 이 장 초두에 제시된 세 가지 경우처럼 평가 내리기에 간단한 것은 아니다. 우리가 삼단논법의 법칙들을 이해하게 된다면, 우리는 보다 더 어려운 삼단논법 논증들을 평가할 수 있을 뿐만 아니라, 그것들을 구성할 수 있게 된다. 일상적이고 잘 이해된 삼단논법 추론의 유형에 숙달되었을 때, 우리는 보다 더 어려운 유형의 추론에 접근할 수 있을 것이다. 이 장에서는 정언삼단논법의 형식들을 분석할 것이고, 아울러서 그것들의 타당성을 결정할 수 있는 두 가지 다른 방식을 소개할 것이다.

정언 삼단논증은 가언 삼단논증과 선언 삼단논증과 마찬가지로 두 개의 전제를 가진 논증이다. 그러나 정언 삼단논증은 진리함수 논증이 아니기 때문에 정언 삼단논증의 형식적 타당성에 접근하기 위해서는 진리표와는 다른 기술이 요구된다. 앞서 언급된 세 가지 정언 삼단논증은 모두 타당하다. 그러나 이러한 논증의 타당성은 문장 사이에서의 진리함수적 연결(connections)에 의존하는 것이 아니다. 만약 우리가 단순문장에 대해 문장 기호를 사용함으로써 이러한 논증의 구조를 나타내고자 한다면, 각각의 논증은 명백히 부당한 형식의 예가 되고 말 것이다.

 

p

q

--

r

 

이러한 논증을 타당하게 해주는 형식을 발견하기 위해서는 문장 내부의 구조를, 즉 정언문장 속의 주어와 술어 사이의 연결을, 반드시 고려하여야만 한다.

 

 

Ⅱ. 정언문장

 

논증 (a), (b), (c)에는 문장의 네 가지 기본 유형만이 나타나 있는데, 이것들이 정언문장의 네 가지 형식이다. 만약 문자 'S'가 주어개념(주어항)을 나타내고, 문자 'P'가 술어개념(술어항)을 나타낸다면, 우리는 정언문장의 네 형식을 다음의 표준적인 방식으로 나타낼 수 있다.

 

1) 모든 S는 P이다.

2) 어떠한 S도 P가 아니다.

3) 어떤 S는 P이다.

4) 어떤 S는 P가 아니다.

 

정언문장의 첫 번째 유형인 "모든 S는 P이다"는 우리가 이미 익숙해져 있는 '전칭긍정 일반화(affirmative universal generalization)' 문장이다. 이 형식의 문장은 'S'개념에 의해 지칭된 집합의 모든 원소들이 'P'개념에 의해 지칭된 집합의 원소들임을 나타낸다. 동일한 것을 다른 방식으로 다음과 같이 말할 수도 있다. "주어집합이 술어 집합 안에 포함되어 있다."(정언 삼단논법의 논리학은 때로는 '집합의 논리학'으로도 불린다.) "그 대학교의 모든 3학년 학생들은 학부학생이다"라는 문장은 '그 대학교의 3학년 학생'이 주어집합을 지칭하고, '학부학생'이 술어 집합을 지칭하는 전칭긍정 일반화 문장의 한 예이다.

정언문장의 두 번째 유형인 "어떠한 S도 P가 아니다"는 '전칭부정 일반화' 문장이다. 이 문장 형식은 집합 S의 어떠한 원소도 집합 P의 원소가 아님을 나타낸다. 이 문장은 "주어집합과 술어 집합이 중복되지 않는다" 혹은 "주어집합과 술어 집합이 서로를 배제한다"고 해석될 수 있다. "어떠한 프로축구선수도 발레리나가 아니다"라는 문장은 '프로축구선수'가 주어이고, '발레리나'가 술어인, 전칭부정 문장이다.

정언문장의 세 번째 유형인 "어떤 S는 P이다"는 '특칭긍정 일반화(affirmative particular generalization)' 문장인데, 이것은 '존재긍정 일반화(affirmative existential generalization)' 문장이라 불리기도 한다. 이 문장 형식은 적어도 하나의 개별원소가 집합 S의 원소이면서 또한 집합 P의 원소임을 말한다. 동일한 것을 다른 방식으로 다음과 같이 말할 수 있다. "주어집합과 술어 집합이 중복되어서, 그것은 적어도 하나의 원소를 공유한다." "어떤 개는 갈색이다"라는 문장은 특칭긍정 일반화 문장의 한 예이다.

정언문장의 네 번째 유형인 "어떤 S는 P가 아니다"는 '특칭(존재)부정 일반화' 문장이다. 이 형식의 문장은 집합 S의 원소인 어떤 것(적어도 하나의 원소)이 집합 P의 원소가 아님을 나타낸다. 다시 말해서, P에서 어떠한 원소를 취하더라도 S에는 그것과 일치하지 않는 원소가 적어도 하나 있음을 의미한다. 이 대안적인 정식은 앞으로 '존재부정 일반화'의 중요한 특색을 다룰 때 매우 유용할 것이다. "어떤 개는 갈색이 아니다" 혹은 "갈색에서 어떠한 것을 취하더라도 개의 집합에는 그것과 일치하지 않는 원소가 적어도 하나 있다"는 존재부정 일반화의 예이다.

 

1. 대당사각형(The Square of Opposition)

삼단논법의 논리학은 2,300년도 더 이전에 아리스토텔레스에 의해 발전되었다. 아리스토텔레스는 타당한 논증의 원리를 형식화하기 위한 작업을 최초로 시도했으며, 그것은 상당히 성공적이어서, 그가 발전시킨 대부분의 것들은 고대에서부터 오늘날에 이르기까지 논리학 분야 안에서 꾸준히 연구되고 있다. 아리스토텔레스가 그의 업적을 이룩해 내었던 때와 비슷한 시기에 발전한 학문으로서 유클리드에 의해 발전된 기하학만이 서구의 지성사 안에서 아리스토텔레스의 위치에 필적할 만한 학문적 위치를 확고히 지켜오고 있다. 아리스토텔레스는 삼단논증의 타당성에 관한 연구에 관심을 가졌을 뿐만 아니라, 정언문장의 네 가지 유형 사이에 성립하는 다양한 관계에 관한 연구에도 지대한 관심을 기울였다. 그러한 관계는 네 가지 유형의 문장들을 그림 9-1에서 볼 수 있는 바와 같이 대당사각형 위에 배열함으로써 더욱 쉽게 고찰될 수 있다.

 

[A] 모든 S는 P이다. [E] 어떠한 S도 P가 아니다.

 

[Ⅰ] 어떤 S는 P이다. [O] 어떤 S는 P가 아니다.

 

그림 9-1 대당사각형

 

문자 A, E, I, O는 중세시대에서부터 네 유형의 정언문장을 지칭하기 위하여 사용되어 왔다. 전칭긍정을 나타내는 문자 A는 '나는 긍정한다'는 뜻의 라틴어 단어 'Affirmo'의 첫 번째 모음이며, 특칭긍정을 지칭하는 문자 I는 동일한 라틴어 단어의 두 번째 모음이다. 전칭부정 문장임을 나타내는 문자 E는 '나는 부정한다'는 뜻의 라틴어 단어 'Nego'의 첫 번째 모음이며, 특칭부정을 나타내는 문자 O는 동일한 라틴어 단어의 두 번째 모음이다.

 

ⅰ. 정언문장들 사이의 관계

아리스토텔레스의 논리체계에 따르면, 정언문장의 쌍 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

1) A문장과 O문장은 서로 모순이고, E문장과 I문장 역시 서로 모순이다.

두 문장이 모순관계에 있다는 말은, 그 쌍 중의 한 문장이 참이면 다른 문장은 반드시 거짓이어야 한다는 의미이다. 만약 "모든 S는 P이다"가 참이라면, 명백히 "어떤 S는 P가 아니다"라는 것이 반드시 거짓이어야 한다. 그리고 만약 "어떤 S는 P가 아니다"가 참이라면, "모든 S는 P이다"는 반드시 거짓이어야 한다. E문장과 I문장에 관해서도 역시 마찬가지 관계가 성립한다. 만약 "어떠한 S도 P가 아니다"가 참이라면, "어떤 S는 P이다"는 반드시 거짓이어야 한다. 유사하게 "어떤 S는 P이다"가 참이라면, "어떠한 S도 P가 아니다"는 반드시 거짓이어야만 한다. 대당사각형 상에서 서로 대각선으로 마주보는 문장 형식들은 그것들이 논리적으로 서로 모순된다는 의미에서 '대당(opposite)'된다.

2) A문장과 E문장은 서로 반대이다.

두 문장이 둘 다 거짓일 수는 있어도 둘 다 참일 수는 없을 때, 그 두 문장은 서로 반대이다. "모든 개는 갈색이다"와 "어떠한 개도 갈색이 아니다"라는 문장은 반대이며, 두 문장 모두 거짓이다. "모든 축구선수는 운동선수이다"와 "어떠한 축구선수도 운동선수가 아니다"라는 문장은 반대인데, 두 번째 문장만이 거짓이다. 대당사각형의 위쪽에서 서로 마주보는 문장형식들은 그것들이 논리적으로 서로 반대된다는 의미에서 '대당'된다.

'모순'과 '반대'의 용어들을 정언문장이 아닌 문장 쌍에도 적용하여 사용하는 것이 적절하다. 예를 들어 다음의 두 문장 "내 하나뿐인 형은 내 하나뿐인 누나보다 몸무게가 더 나간다"와 "내 하나뿐인 누나는 내 하나뿐인 형보다 몸무게가 더 나간다"는 모두 정언문장이 아님에도 불구하고, 서로 반대이다. 두 문장 모두 거짓일 수는 있어도(만약 내 형제들의 몸무게가 정확히 같다면), 둘 다 참일 수는 없다.

진리함수 문장형식과 관련하여, 'P'가 정언문장이건 아니건, 'P'와 '∼P'의 형식은 항상 서로 모순된 쌍이다.(우리가 문장 사이의 구조적 관계를 파악해내는 데 관심을 가지고 있을 때, 우리는 문장기호를 단순문장을 나타내기 위하여 사용했음에도 불구하고, 문장기호는 그 어떠한 문장이건 나타낼 수 있다는 것을 기억하라.) "비가 오고 있다"는 문장과 "비가 오고 있지 않다"는 문장은 명백히 모순이다.

비판적 사고를 함에 있어서, 모순의 문장 쌍과 반대의 문장 쌍 사이의 차이점을 명확히 아는 것은 중요한 일이다. 예를 들어, "순주는 나를 사랑하지 않아"라는 전제로부터 "순주는 나를 미워해"라고 결론짓는 것은 잘못일 것이다. "순주가 나를 미워한다"는 문장과 "순주가 나를 사랑한다"는 문장이 서로 반대임에도 불구하고, 그것들이 서로 모순인 것은 아니다. 그러므로 우리는 그것들 중의 하나가 거짓이기 때문에 나머지 하나가 반드시 참이어야만 한다고 결론지을 수는 없다. 그것들은 둘 다 거짓일 수 있다. '양립할 수 없는(incompatible)'이라는 용어는 애매하다. '양립할 수 없음'은 어떤 때는 반대를 가리키기도 하고, 어떤 때는 모순을 가리키기도 한다.

3) I문장과 O문장은 둘 다 거짓일 수는 없지만, 둘 다 참일 수는 있다.

이러한 방식으로 서로 관련되는 문장들을 소반대(subcontraries)라고 부른다. 일상어 문장 "어떤 개는 갈색이다"와 "어떤 개는 갈색이 아니다"는 소반대이며, 둘 다 참이다. "어떤 사람은 죽는다"와 "어떤 사람은 죽지 않는다"의 문장 쌍은 소반대인데, 단지 첫 번째 문장만이 참이다. 대당사각형의 아래쪽에서 마주보는 위치에 있는 문장들은, 그것들이 소반대된다는 의미에서 대당된다. 반대의 문장 쌍은 자주 모순으로 오해되는 데 반해, 소반대의 문장 쌍이 모순으로 오해되는 일은 그리 많지 않다. 이러한 소반대와 관련된 오해의 발생은 대부분 일상 언어 문장에서 부정어의 영향권 범위에 관한 혼동에서 기인한다. 예를 들어 다음의 두 문장

 

(ⅰ) "엘리자베스 2세는 영국 여왕이다"

(ⅱ) "엘리자베스 2세는 영국 여왕이 아니다"

 

는 모순이다. (ⅰ)문장의 동사 뒤에 '아니다'를 삽입하는 것은 '∼는 사실이 아니다(It is not the case that)'를 덧붙이는 것과 같은 동일한 논리적 힘을 가진다.

이와 유사하기는 하지만, 특칭일반화 문장은 (ⅰ)과 (ⅱ)의 문장과는 논리적으로 구별되며, 동사 뒤에 '아니다'를 삽입하는 것은 '∼는 사실이 아니다'를 덧붙이는 것과는 다른 논리적 힘을 갖는다. 다음의 문장 쌍을 살펴보자.

 

(ⅲ) 어떤 여자들은 여왕이다.

(ⅳ) 어떤 여자들은 여왕이 아니다.

 

이러한 문장들은 서로 모순이 아니다. 이것들은 둘 다 참이며, 소반대의 관계에 있다.

4) I문장은 A문장의 논리적 귀결이며, O문장은 E문장의 논리적 귀결이다. (그림 9-2를 볼 것.)

만약 모든 S가 P임이 참이라면 어떤 S가 P라고 말하는 것은 합리적인 것으로 보인다. 유사하게, 만약 "어떠한 S도 P가 아니다"가 참이라면, "어떤 S는 P가 아니다"도 반드시 참이어야만 한다.

A와 I문장 사이의 관계, 그리고 E와 O문장 사이의 관계는 대당사각형의 위쪽 문장들이 아래쪽 문장들을 함축하기 때문에, 소함축(subimplication)이라 불려진다. 만약 A문장이 참이라면, I문장 역시 참임에 틀림없다. 만약 E문장이 참이라면, O문장 역시 참임에 틀림없다.

 

모든 개는 벼룩 투성이이다. 어떠한 개도 벼룩 투성이가 아니다.

| |

↓함축 ↓함축

어떤 개는 벼룩 투성이이다. 어떤 개는 벼룩 투성이가 아니다.

 

그림 9-2

 

아리스토텔레스의 대당사각형 안에서 정언문장들 사이의 관계는 그림 9-3에서 보여지는 것처럼 화살표로써 나타내질 수 있다.

 

반대

[A] 모든 S는 P이다. ←----------→ [E] 어떠한 S도 P가 아니다.

| ↖ ↗ |

| 모순 모순 |

소함축 | | 소함축

| |

↓ ↙ ↘ ↓

[I] 어떤 S는 P이다. ←------------→ [O] 어떤 S는 P가 아니다.

소반대

 

그림 9-3 아리스토텔레스의 대당사각형

 

연습문제

1. 위에서 제시된 정언문장들 사이의 관계에 관한 아리스토텔레스의 설명을 이용하여 다음의 문제를 각각 정언문장으로 대답하라.

a. "모든 바이올리니스트는 베이스 바이올리니스트이다"의 모순문장은 무엇인가?

b. "어떠한 정치꾼도 정치가가 아니다"의 반대문장은 무엇인가?

c. "어떤 정치꾼은 정치가이다"의 모순문장은 무엇인가?

d. "어떤 고양이는 페르시아 산이다"의 소반대문장은 무엇인가?

e. "모든 고양이는 페르시아 산이다"가 참이라면, 어떤 문장이 반드시 참이 되는가?

f. "어떠한 고양이도 페르시아 산이 아니다"가 참이라면, 어떤 문장이 반드시 참이 되는가?

g. "어떤 고양이는 집에서 길들여진 고양이가 아니다"의 모순문장은 무엇인가?

h. "어떠한 축구선수도 의대 예과생이 아니다"의 모순문장은 무엇인가?

i. 어떤 문장이 "모든 의사는 부자이다"에 반대되는가?

j. "어떠한 부자도 의사가 아니다"의 소함축문장은 무엇인가?

 

2. 다음 각각의 문장에 대해 반대인(정언문장일 필요는 없다) 문장을 적어 보라.

a. 캘리포니아 남부에서는 결코 비가 오지 않는다.

b. 매리 앤은 두 개의 푸른 눈을 가졌다.

c. 그의 유일한 애완동물은 개이다.

d. 조니는 부자이다.

e. 초콜릿 디저트는 맛있다.

f. 초콜릿은 내가 가장 좋아하는 것이다.

g. 너는 늘 숙제에 대해서 불평을 늘어놓는구나.

h. 비가 왔다하면, 억수처럼 쏟아 붓는다.

i. 영웅 대다수가 찬미되지도 않은 채 사라져갔다.

j. 잉꼬는 기르기 쉬운 애완동물이다.

 

3. 다음 각각의 문장에 대해 모순인(정언문장일 필요는 없다) 문장을 적어 보라.

a. 완두콩은 일반적으로 칼을 이용해 먹는 음식이 아니다.

b. 당근은 오렌지 색이다.

c. 야구는 축구보다 덜 재미있다.

d. 모든 장미는 가시를 가지고 있다.

e. 울타리 너머의 풀들은 항상 푸르다.

f. 이 영화는 범죄자를 미화한다.

g. 매리 스튜어트는 스코트랜드를 지배했던 유일한 여왕이다.

 

ⅱ. 존재 함축(Existential Import)

전칭문장("모든 S는 P이다", "어떠한 S도 P가 아니다")과 특칭문장("어떤 S는 P이다", "어떤 S는 P가 아니다") 사이의 표면적인 유사성에도 불구하고, 그 문장들의 논리적 구조는 뚜렷이 구분되어지는 것이다. 현대 논리학자들은 전칭문장이 조건문적 구조를 가지고 있다고 이해한다. "만약 어떤 것이 S이면, 그것은 P이다", "만약 어떤 것이 S이면, 그것은 P가 아니다." 대조적으로 특칭문장은 어떤 개별자가 어떤 속성을 가지고 있음(부정인 경우에는, 속성을 결핍하고 있음)을 주장하는 문장이다. "S인 어떤 것이 P이기도 하다", "S인 어떤 것이 P가 아니다." 특칭문장의 구조는 조건적이기보다는 문법적인 연언을 닮았다.

정언문장의 A, E 형식에 있어서 논리적으로 중요한 특색은, 우리가 주어 집합 안에 어떠한 원소도 없다는 것을 인지하고 있을 때도, 일상어 안에서 종종 전칭 일반화를 사용한다는 것이다.("모든 유령은 보이지 않는다.") 우리는 또한 가끔, 주어 집합의 원소가 없을 것이라고 기대하는 경우에도 전칭 일반화를 사용한다.("기말보고서를 제출 기한에 맞추어 내지 못하는 모든 학생은 낙제점을 받을 것이다.") 우리는 이런 경우 '존재 함축을 결여하고 있다'고 말함으로써 이러한 전칭 일반화 문장의 특징을 특성화한다. 대조적으로 특칭문장은 어떤 개별자가 어떤 속성을 가지고 있다거나, 어떤 속성을 결여하고 있다는 것을 주장한다. 어느 쪽의 경우이건, 어떤 것의 존재가 이미 주장되어져 있다. 특칭문장은 존재 함축을 가진다.

 

2. 현대의 대당사각형

현대논리학자들은 정언진술들 사이의 관계를 아리스토텔레스와는 다르게 바라본다. 만약 전칭 일반화가 '실질적 조건문(material conditionals)'으로 간주된다면, 그것이 참된 전건과 거짓된 후건을 가지지 않는 경우에 참된 것으로 간주될 것이다. 다른 말로 해서, 어떠한 조건문이건, 그것이 거짓된 전건을 가지고 있다면 그것은 참이다. 다음의 문장을 살펴보자. "모든 유령은 눈에 보이지 않는다." 우리가 만약 이것을 조건문의 형식으로 재서술한다면 그것은 다음과 같이 된다. "만약 어떤 것이 유령이라면, 그것은 눈에 보이지 않는다." 그러나 유령이란 것은 없으므로, 전건이 거짓이다. 따라서, 만약 우리가 이 조건문을 실질적(진리-함수적) 조건문으로 본다면, "모든 유령이 눈에 보이지 않는다"는 참이다. 그러나 동일한 종류의 추론이 "모든 유령이 눈에 보인다"라는 전칭 일반화에 적용되고, 그것 역시 거짓된 전건을 가지고 있기 때문에 참이다. 이렇게 된다면 A문장과 E문장은 둘 다 참이고, 따라서 그것들은 더 이상 서로 반대가 아니게 된다. 만약 전칭 일반화가 이러한 방식으로 실질적 조건문으로서 이해된다면, 대당사각형은 확연히 단순화되게 된다. 아리스토텔레스에 의해서 인지된, 동일한 주어개념과 술어개념을 지닌 정언문장 형식 사이의 관계들 대부분은 이제 더 이상 유지되지 못한다. 단지 정언문장 쌍 사이의 모순관계만이 서로 대각선으로 대당되며, 그것만이 그대로 남아있게 된다. 이러한 현대의 대당사각형은 그림 9-4에서 보여진다.

 

[A] [E]

↖ ↗

모순 모순

 

↙ ↘

[I] [O]

 

그림 9-4 현대의 대당사각형

 

만약 전칭 일반화가 실질적 조건문으로 해석된다면:

 

(A) 만약 어떤 것이 S라면, 그것은 P이다.

(E) 만약 어떤 것이 S라면, 그것은 P가 아니다.

 

(S의 원소가 아무 것도 없을 때) A문장이 참으로 되는 것이 가능해지는 반면, 대응되는 I문장은 거짓이 되어버린다. 왜냐하면 I문장은 어떤 S가 P임을 주장하므로 I문장은 존재 함축을 갖기 때문이다. 유사하게, E문장이 참으로 되는 것이 가능해지는 반면, 대응되는 O문장은 거짓이 된다. 따라서 소함축의 관계는 현대적 해석 안에서 더 이상 유지되지 않는다. 게다가 S의 원소가 아무 것도 없을 때, I문장과 O문장은 둘 다 거짓일 수 없으므로, 소반대의 관계 역시 성립하지 않게 된다.

'유니콘'이 주어개념이고, '흰 것'이 술어개념인 다음의 네 가지 정언문장들을 살펴보자.

 

A : 모든 유니콘은 하얗다.

E : 어떠한 유니콘도 하얗지 않다.

I : 어떤 유니콘은 하얗다.

O : 어떤 유니콘은 하얗지 않다.

 

우리는 유니콘이 존재하지 않는다는 것을 안다. 따라서 A와 E문장은 둘 다 참이며, I와 O문장은 둘 다 거짓이다. A문장은 I문장을 함축하지 않으며, E문장 역시 O문장을 함축하지 않는다. A와 E문장은 반대가 아니며, I와 O문장은 소반대가 아니다. 그러나 A와 O문장은 E와 I문장과 마찬가지로 서로 모순이다.

현대 논리학자들이 조건문을 실질적 조건문으로 해석하는 주된 이유는, 그렇게 하면 일률적인(uniform) 해석이 가능해진다는 편리함을 얻을 수 있기 때문이다. 이러한 해석이 지불해야 할 대가는, 순수하게 구조적인 고찰을 하기 위하여 내용(content)을 무시해야 한다는 것이다. 대당사각형 안에서 제시된 문장형식과 같은 것을 사용할 때, 우리가 주어 집합 혹은 술어 집합의 본성에 관해서는 관심을 그다지 기울이지 않는다는 의미에서, 우리는 모든 내용을 무시한다. 논리학자가 관심을 가지고 있는 것은 그 집합들 사이의 다음과 같은 관계일 뿐이다. 한 집합이 다른 집합을 포함하는가, 아니면 배제하는가? 두 개의 집합이 공통된 원소를 공유하고 있는가? 다른 집합에는 속하지 않는, 한 집합의 원소가 있는가? 우리는 이미, 논증의 타당성 혹은 부당성에 관하여 지대한 관심을 기울일 때, 문장보다는 문장형식을 사용함으로써 얻는 이득들에 익숙해져 있다. 그러나 그러한 내용의 무시는 우리로 하여금 문장 안의 개념들이 어떻게 다루어져야만 하는지에 관한 어떤 결정을 내릴 것을 요구한다. 이에 논리학자들은 전칭문장을 실질적 조건문과 유사한 방식으로 다룸으로써 포괄적인 논리체계를 제공할 수 있게 된다. 그들은 기호 논리체계를 통해서 문장 논증의 분석기술을 발전시키고, 전칭 문장을 실질적 조건문과 유사한 방식으로 다룸으로써 보다 복합적인 종류의 논증에 이 기교를 확장시킨다.

10장에서, 우리는 이미 소개된 바 있는 기호 논리적 기교들 중 일부를 발전시킬 것이고, 그렇게 된다면 우리는 집합 논리를 다루는 현대적 방식의 등장으로 말미암아 논리체계가 얼마나 간소해졌는가 하는 점을 볼 수 있을 것이다. 이 장 뒷부분에서 우리는, 삼단논법을 형식적으로 처리함에 있어서, 대당사각형에 관해 현대적 태도(attitude)를 채택하여 논의를 해 나갈 것이다. 그러나 그렇다고 해서 아리스토텔레스의 대당사각형이 그 중요성을 잃어버리는 것은 결코 아니다. 그것은 여전히 우리의 일상적인 대화를 이해하는 데 도움을 준다. 일상적인 대화 안에서까지 전칭문장이 실질적 조건문처럼 표준대로 해석되어지는 것은 아니기 때문이다.

이처럼 우리가 삼단논법의 형식적 처리에 있어서 보다 간단한 현대적 대당사각형을 사용한다 하더라도, 아리스토텔레스의 전통적 대당사각형 상의 정언문장들 사이의 관계는 여전히 평소의 일상 언어적 추론에 있어 중요한 것이다. 그러한 이유 때문에, 우리의 조심스러운 주의가 다시 요구된다. 일상적인 추론에 있어서의 논증은 종종 하나의 문장이 다른 것과 반대되거나, 다른 것에 소반대되거나, 다른 것의 소함축이라는 사실에 의존한다. 우리는 그러한 논증을 인지하고 평가해 낼 수 있어야만 한다.

 

 

Ⅲ. 표준 정언형식으로서의 일상 언어 문장 번역

 

정언문장의 네 유형 가운데 한가지 유형의 논리구조를 가지는 일상 언어 문장을 표현하는 데에는 다수의 방식이 있을 수 있고, 이것은 결코 놀라운 일이 아니다. 교묘한 언어조작을 충분히 가하면, 정언문장으로 보이지 않는 다수의 일상 언어 문장도 정언형식 중의 어느 하나에 들어맞을 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 문장 "비가 한번 내렸다하면 폭우이다"는 "비가 오는 모든 기간은 폭우가 쏟아지는 기간이다"로 번역될 수 있고, 이것은 다름 아닌 표준 A문장이다.

 

1. A문장

다음의 일상 언어 문장을 살펴보자.

 

1) 모든 불법 침입자들은 고소당할 사람들이다.

2) 불법 침입자는 고소당할 것이다.

3) 불법 침입하는 사람은 누구든 고소당할 것이다.

4) 만약 어떤 사람이 불법 침입한다면, 그 사람은 고소당할 것이다.

5) 어떠한 불법 침입자도 고소당하는 것을 피하지 못할 것이다.

6) 어떤 불법 침입자들이 고소당하지 않으리라는 것은 거짓이다.

7) 고소당하다 않을 모든 사람들은 불법 침입자들이 아니다.

 

이러한 모든 문장들은, 각각의 문장이 불법 침입자들의 집합이 고소당할 사람들의 집합에 포함된다는 것을 진술한다는 논리적으로 중요한 의미에서, 서로 동치(equivalent)이다. 위의 각각의 문장에 대한 다음의 언급들은 이 동치를 보다 명확하게 보여주기 위하여 기술되었다.

 

1) '불법침입자들'은 주어 집합을 지칭하고, '고소당하다 사람들'은 술어 집합을 지칭한다. "모든 S는 P이다"는 A문장의 표준적인 형식이다.

2) 일상 언어 문장에 있어, 문장의 맥락이 양화사('모든', 혹은 '어떤')가 의도하는 바를 명확히 해주는 경우, 그 양화사는 종종 생략된다. 예를 들어, 문장 "고래는 포유동물이다"는 "모든 고래가 포유동물이다"로 이해될 수 있다. 그러나 "말조심해라. 애들이 곁에 있다"라는 진술에 있어 두 번째 문장은 "어떤 아이들이 곁에 있다"는 것을 의미하는 것으로 이해된다. 또한 '∼하는 사람들', '∼하는 것들'과 같은 명사어구들, 그리고 그와 유사한 표현들은 종종 술어개념에서 생략된다.

3) 이 문장 안에서, 우리는 쉽게 '불법 침입하는 사람은 누구든'이 '모든 불법 침입자들은'과 동일한 것을 의미한다는 것을 알 수 있다.

4) 이 문장은 A문장을 그것의 조건문적 본성을 명백히 보여주는 형식으로 번역한 표준 번역문이다. "만약 어떤 것이 S라면, 그것은 P이다."

5) 이 문장은 명백히 E형식과 동치이다. "어떠한 불법 침입자도 고발당하지 않을 사람이 아니다." 원래의 1)문장에서 '모든 ∼는'이 '어떠한 ∼도 아니다'로 바뀌었을 뿐만 아니라, 술어 '고소당하다 사람'도 '고소당하다 않을 사람'으로 바뀌었다. 대개 A문장은 다음의 두 단계를 밟아서 동치의 E문장으로 변형될 수 있다.

a) '모든 ∼는'은 '어떠한 ∼도 아니다'로 바꾼다. 긍정문장을 부정문장으로, 혹은 부정문장을 긍정문장으로 바꾸는 것을 '정언문장의 질(quality)을 바꾼다'고 부른다.

b) 문장의 술어개념은 그것의 여집합으로 바꾼다. 여집합이란 본래의 집합 안에 있지 않은 모든 것들의 집합이다. 예를 들어, 고양이의 여집합은 非고양이(noncats)의 집합이다. 非사람(nonmen)의 여집합은 사람의 집합이다. 여집합을 지칭하는 개념은 본래 개념의 여집합 개념(the complement)이라 불려진다.

정언문장의 질을 바꾸고 술어개념을 여집합 개념으로 바꾸는 과정을 '환질(obversion)'이라고 부른다. 어떠한 정언문장이건(A, E, I, O) 그 문장이 환질되었을 때, 의미에 있어 본래의 문장과 동치인 문장이 발생한다.

6) 이 문장은 다음과 같은 O문장의 부정과 동치이다: "어떤 불법 침입자들이 고소당하다 않을 사람들인 경우는 없다." "모든 불법 침입자들은 고소당하다 사람들이다"에 모순되는 O문장은 "어떤 불법침입자들은 고소당하다 않을 사람들이다"이다. 어떤 문장의 모순이 되는 문장의 부정은 논리적으로 원래의 문장과 동치이다.

7) 이 문장 안에서, 주어개념은 문장1) 술어개념의 여집합이고, 술어개념은 문장1) 주어개념의 여집합이다. 이러한 변환을 '이환(contraposition)'이라 부른다. A문장의 이환은 의미에 있어 원래의 문장과 동치인 A문장을 산출한다.

 

A문장에 있어 주어와 술어 사이의 관계는 그림 9-5에서 보여지듯이 A문장의 벤 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

그림 9-5

 

겹쳐진 두 원들은 두 집합, 즉 Ss와 Ps를 나타낸다. 이러한 집합들은 원소를 가질 수도, 갖지 않을 수도 있다. 빗금은 어떤 지역이 비어있음을 지시하기 위하여 사용된다. 따라서 A문장의 경우, P원의 바깥쪽에 놓여있으면서 S원의 안쪽인 지역에 빗금이 그려진다. 왜냐하면, 어떠한 Ss이건(만약 어떤 것이 있다면), 그것은 반드시 P원 안에 포함되어있는 S원의 부분 안에 놓여 있어야 하기 때문이다.

 

2. E문장

다음의 일상 언어 문장을 살펴보자.

 

1) 어떠한 고래도 물고기가 아니다.

2) 고래는 물고기가 아니다.

3) 고래인 어떠한 것도 물고기가 아니다.

4) 오로지 非물고기만이 고래이다.

5) 만약 어떤 것이 고래라면, 그것은 물고기가 아니다.

6) 모든 고래는 非물고기이다.

7) 어떤 고래가 물고기라는 것은 거짓이다.

 

이 문장들 각각은 고래의 집합과 물고기의 집합이 겹쳐지지 않는다는 것, 달리 말해서, 두 집합 모두에 속한 공통된 원소가 없다는 것을 말한다. 각각의 문장에 대한 설명은 다음과 같다.

1) 이 문장은 표준 E형식 문장이다.

2) 문맥상 애매하지 않을 경우 '모든'은 생략될 수 있다. 이 문장은 "모든 고래는 非물고기이다"라는 정언 A문장과 동치이다.

3) 이 문맥 안에서 '고래인 어떠한 것도∼아닌'은 명백히 '어떠한 고래도 ∼아닌'과 동일한 의미를 갖는다.

4) "오직 非물고기만이 고래이다"는 "만약 어떤 것이 非물고기가 아니라면, 그것은 고래가 아니다"와 동일한 의미이다. 바꿔서 이것은 "만약 어떤 것이 물고기라면, 그것은 고래가 아니다"와 동치이다. 이 문장은 원래의 E문장이 말하는 것, 즉 물고기의 집합과 고래의 집합 사이에 겹쳐치는 부분이 없다는 것을 말하는 것이다.

5) 이 문장은 E문장이 자신과 동치인 조건문으로 바뀌는 표준 번역이다. "어떠한 S도 P가 아니다"는 "만약 어떤 것이 S이면, 그것은 P가 아니다"가 된다.

6) 이 문장은 E문장이 환질에 의해 자신과 동치인 A문장으로 바뀌는 표준 변형을 나타낸다. 문장의 질은 부정에서 긍정으로 변화하며, 술어개념은 그것의 여집합으로 바뀐다.

7) 이 문장은 원래 1) E문장의 모순이 되는 문장의 부정이다. 일반적으로 정언문장 "어떠한 S도 P가 아니다"는 비정언문장 "어떤 S가 P인 것은 거짓이다"와 동치이다.

 

E문장은(E문장 표준 형식의 모든 일상 언어 변형들을 포함하여) 그림 9-6에서 보여지듯이 벤 다이어그램으로 나타낼 수 있다.)

 

 

 

그림 9-6

 

A문장의 벤 다이어그램과 마찬가지로 두 원은 S집합과 P집합을 표상한다. 겹쳐진 지역의 빗금은 그 지역이 비어있음을(두 집합 안에 동시에 포함되는 것이 아무 것도 없음을) 나타낸다.

우리는 벤 다이어그램을 조사해 봄으로써, 문장형식 "어떠한 S도 P가 아니다"와 "어떠한 P도 S가 아니다"가 동치임을 분명히 알 수 있다. 이것은 문장의 의미 변화 없이 주어개념과 술어개념이 E문장 안에서 교환될 수 있다는 것을 의미한다. 이러한 변형을 '환위(conversion)'라고 부른다. 환위가 항상 의미를 보존하는 것은 아니다. 환위가 A문장에 적용되었을 때, 가령 "모든 코끼리가 포유동물이다"에 적용되었을 때 그 결과는 "모든 포유동물이 코끼리이다"인데, 그 두 문장이 동일한 것을 의미하지는 않는다는 것을 우리는 금새 알 수 있다. A문장의 벤 다이어그램을 검사해 보면 우리는 주어개념과 술어개념에 대해서 대칭이 이루어져 있지 않음을 분명히 알 수 있다.

 

3. I문장

다음의 문장들은 모두 동일한 I문장의 일상 언어 변형 문장이다.

 

1) 어떤 논리학 원리는 파악하기 어려운 것이다.

2) 어떤 논리학 원리는 파악하기 어렵다.

3) 어떤 것이 논리학 원리이면서 파악하기 어려운 것이다.

4) 파악하기 어려운 논리학 원리들이 있다.

5) 어떤 논리학 원리는 파악하기 어렵지 않은 것이 아니다.

6) 어떤 논리학 원리는 파악하기 쉽지 않다.

7) 어떠한 논리학 원리도 파악하기 어렵지 않다는 것은 사실이 아니다.

8) 모든 논리학 원리가 파악하기 쉽다는 것은 사실이 아니다.

9) 파악하기 어려운 어떤 것은 논리학 원리이다.

 

이러한 동치문장들 중 몇몇이 아래에서 논의되었다. 독자들은 나머지 동치문장들까지 확신해야만 한다.

 

1) 이 문장은 표준 I형식이다.

3) 이 형식은 I문장의 연언적 본성을 뚜렷이 드러낸다.

5) I형식과 동치인 O형식은 문장의 질을 긍정에서 부정으로 바꾸고, 술어개념을 여집합으로 교체함으로써 만들어질 수 있다.(환질)

7) I문장의 모순인 E문장이 부정되었다. 그 결과로 나온 문장은 원래의 I문장과 동치이다.

9) I문장은 연언의 논리형식을 가지고 있고, 연언지의 순서가 연언의 진리와는 무관하기 때문에, "어떤 S는 P이다"와 "어떤 P는 S이다"는 동치이다. E문장 안에서와 마찬가지로, I문장 안에서도 주어개념과 술어개념은 문장의 의미 변화 없이 교환될 수 있다. 환위는 I문장 안에서 의미를 보존한다.

 

I문장의 벤 다이어그램에서도, 두 개의 겹쳐지는 원들은 집합 S와 집합 P를 나타낸다. x표시는 어떤 집합이 원소를 가지고 있다는 사실을 나타내기 위하여 사용된다. I문장은 집합 S와 집합 P가 적어도 하나의 원소를 공유하고 있다고 말하기 때문에, x표시가 그림 9-7에서 보여지는 것처럼 겹쳐진 지역 안에 위치해 있다.

 

 

 

그림 9-7

 

4. O문장

다음의 문장들은 모두 동일한 O문장의 일상 언어 변형 문장들이다.

 

1) 어떤 육상선수는 채식주의자가 아니다.

2) 어떤 육상선수는 非채식주의자이다.

3) 어떤 비채식주의자는 육상선수이다.

4) 모든 육상선수가 채식주의자인 것은 아니다.

5) 非채식주의자인 육상선수가 있다.

6) 어떤 非채식주의자는 非육상선수가 아니다.

 

이 문장들이 서로 동치가 되는 이유를 밝혀주는 원리들이 지금까지 소개되었다. 첫 번째 문장 1)은 표준 O형식이다. 두 번째 문장 2)는 1)의 환질이다. 문장 1)의 질이 부정에서 긍정으로 바뀌었고(다시 말해, O문장에서 I문장으로 바뀌었고), 술어개념이 여집합으로 바뀌었다. 문장 3)은 문장 2)의 환위로서, I문장의 주어개념과 술어개념이 교환되었다. 문장 4)는 원래의 O문장의 모순이 되는 A문장의 부정이다. 문장 5)는 O문장의 연언적 본성을 보여준다. 마지막으로, 문장 6)은 문장 1)의 이환이다. 이환은 A문장에서와 마찬가지로 O문장에서도 의미의 동일성을 유지한다.

다시 한번, 겹쳐진 두 원들을 사용하고, 한 집합이 어떤 원소를 가지고 있음을 보이기 위하여 x표시를 사용한다면, 그림 9-8의 벤 다이어그램은 O문장의 모든 변형 문장들을 나타낸다. 이 경우에, x표시는 P원 바깥쪽이면서 S원의 안쪽에 그려진다.

 

 

 

그림 9-8

 

연습문제

다음의 일상 언어 문장 각각에 대해서, 원래 문장의 의미에 최대한 가까운 의미를 담아낼 수 있도록 네 가지 표준 정언형식 중 어느 한 가지 문장형식으로 고쳐라. 그리고 각각의 문장에 대해서 벤 다이어그램을 그려라.

1) 단지 어머니만이 그를 사랑할 수 있었다.

2) 만약 학생들이 과제를 제때 해내지 못한다면, 그들은 낭패를 보게 된다.

3) 가장 지루한 구간은 집으로 가는 마지막 구간이다.

4) 태양이 축복하는 그 신부는 행복하다.

5) 3학년과 4학년을 제외하고는 아무도 입장할 수 없다.

6) 모든 사과가 빨간 것은 아니다.

7) 만약 그것이 진짜가 아니라면, 그것은 소유할 만한 가치가 없다.

8) 그 축구팀은 홈에서 항상 이긴다.

9) 가치 있는 교훈은 결코 쉽게 배워지지 않는다.

10) 모든 좋은 춤꾼이 좋은 사람인 것은 아니다.

11) 미국 전함이 인도양에 있다.

12) 가장 쉬운 코스가 항상 가장 만족스러운 코스인 것은 아니다.

13) 남부 캘리포니아에서는 결코 비가 오지 않는다.

14) 그녀는 그녀가 가는 곳마다 햇빛을 몰고 다닌다.

15) 우주 방사선은 우리 주위에 가득 있다.

16) 이 같은 시간들이 사람들의 영혼을 제련한다.

17) 100년이 넘었을 경우에만 골동품이다.

18) 마지막 연습이 항상 최선의 연습이다.

 

 

Ⅳ. 벤 다이어그램을 이용한 타당성 검토

 

표준형식의 정언 삼단논증은 두 개의 전제와 하나의 결론을 가지고 있는 논증인데, 다음과 같은 속성을 가지고 있다.

 

1) 전제와 결론 모두 표준형식의 정언문장이다.

2) 논증 안에는 단지 세 개의 개념만이 나타난다. 그러한 개념들 가운데 하나는 각각의 전제 안에 한번 나타나고, 나머지 두 개념 각각은 한번은 전제들 중 하나 안에, 그리고 한번은 결론 안에 나타난다.

 

이러한 논증 형식을 나타낼 때, 우리는 결론의 주어개념을 지칭하기 위하여 S를 사용하고, 결론의 술어개념을 지칭하기 위하여 P를 사용하며, 두 전제 모두에서 나타나는 개념을 지칭하기 위하여 M을 사용한다.

전제들 안에 이미 존재하지 않는 어떠한 정보도 논증의 결론에 포함되지 않을 때, 그 논증은 연역적으로 타당하다는 것을 기억하라. 만약 어떠한 새로운 정보도 결론에 나타나지 않는다면, 결론이 거짓일 경우 전제들 모두가 참이 되는 것은 불가능하다.

우리는 이미 정언문장들 안에 포함된 정보를 어떻게 벤 다이어그램으로 나타낼 수 있는지를 살펴보았다. 벤 다이어그램은 하나의 집합이 다른 집합을 포함하는지, 아니면 배제하는지, 집합들이 공통의 원소를 공유하는지, 혹은 하나의 집합이 다른 집합 바깥쪽에 놓인 원소를 가지고 있는지의 여부를 보여줄 수 있다.(그림 9-9를 보라.)

 

 

 

 

 

 

그림 9-9

 

벤 다이어그램 기법을 정언 삼단논증에 적용하기 위하여, 우리는 논증 안의 세 개의 개념들 각각에 대응하는 세 개의 겹침 원들이 필요하다. 원들은 9-10에서 보여지는 바대로 표준적인 방식으로 배열되었다.

 

 

 

그림 9-10

 

삼단논증의 타당성을 검토하기 위하여, 우리는 빗금, 혹은 x표시를 이용하는데, 그것들은 전제들 안에 포함되어져 있는 정보를 표시하기 위한 것들이다. 그 다음 우리는 결론 안의 정보가 다이어그램으로부터 '읽혀질(read off)' 수 있는지의 여부를 알기 위하여 그 다이어그램을 검사한다. 만약, 전제들이 다이어그램 상에 표시된 후, 결론이 그 다이어그램으로부터 읽혀질 수 있다면 그 논증은 타당한 삼단논증이다. 만약 결론이 그 다이어그램으로부터 읽혀질 수 없다면, 그 논증은 부당한 삼단논증이다.

 

예

(a) 모든 예민한 사람은 몽상가이다. 모든 S는 M이다.

모든 몽상가는 시인이다. 모든 M은 P이다.

----------------------------- ----------------

모든 예민한 사람은 시인이다. 모든 S는 P이다.

 

이 논변에서 S는 예민한 사람들의 집합이고, P는 시인들의 집합이며, M은 몽상가들의 집합이다.

첫 번째 전제를 그리기 위하여, 우리는 S와 M으로 이름 붙여진 두 원만을 고려한다. 첫 번째 전제는 S를 주어개념으로 가지는 A문장이다. 그러므로 우리는 그림 9-11에서 보여지는 바와 같이 원 M 바깥쪽에 놓여 있는 원 S의 모든 부분에 빗금을 친다.

 

 

 

그림 9-11

 

두 번째 전제를 그리기 위하여, 우리는 P와 M으로 이름 붙여진 두 원만을 고려한다. 두 번째 전제 역시 M을 주어개념으로 가지는 A문장이므로, 우리는 그림 9-12에서 보여지는 바와 같이 원 P 안에 놓여있지 않은 원 M의 모든 부분에 빗금을 친다.

 

 

 

그림 9-12

 

두 전제들을 그린 후, 우리는 그 벤 다이어그램 안에서 결론을 읽어낼 수 있는지의 여부를 검사한다. 결론은 S를 주어개념으로, 그리고 P를 술어개념으로 가지는 A문장이다. 다이어그램에서, 원 P 바깥에 놓여있는 원 S 모두에는 빗금이 쳐져 있다.(원 P 안쪽에 놓여있는 일부분 역시 빗금이 쳐져 있으나, 이것은 '만약 어떤 것이 S라면 그것은 P이다'라는 문장과 충돌하지 않는다. 이것은 단지 Ps이면서 Ss인 것은 모두 Ms이기도 하다는 부가적인 정보를 제공할 뿐이다.) 따라서 우리는 벤 다이어그램으로부터 "모든 S는 P이다"라는 문장을 읽어낼 수 있고, 이 논증은 타당한 것으로 밝혀진다.

 

(b) 모든 정치가는 명예로운 사람이다. 모든 S는 M이다.

어떤 명예로운 사람은 정치꾼이다. 어떤 M은 P이다.

------------------------------- ----------------

어떤 정치가는 정치꾼이다. 어떤 S는 P이다.

 

 

 

 

그림 9-13

 

그림 9-13에서, 첫 번째 전제 "모든 S는 M이다"는 원 M 바깥쪽에 놓여있는 원 S의 부분을 빗금 침으로써 그려진다.

 

 

 

그림 9-14

 

그림 9-14에서, 두 번째 전제에 포함된 정보 "어떤 M은 P이다"가 첫 번째 전제가 그려진 다이어그램에 부가되었다. 원 P와 원 M 사이의 겹쳐진 지역은 그 자체가 두 부분으로 나뉘어 있다. 그 부분들 중 하나는 원 S 안에 놓여 있고, 나머지 부분은 원 S 바깥에 놓여있다. 전제 안의 정보는 우리에게 겹쳐진 그 부분 어디인가에 원소가 있다는 것만을 말해주기 때문에, 우리는 x표시를 어느 한 지역, 혹은 다른 지역 안에 확정적으로 위치시킬 수 없다. 그 대신, 우리는 그 지역 어딘가에 원소가 있음을 지시하기 위하여, '유동 x표시(floating x)'(대시 점선으로 연결된 두 개의 x)를 사용한다.

그러나 우리가 결론 "어떤 S는 P이다"를 읽어내려 시도할 때, 다이어그램이 우리에게 단지 x가 S와 P의 겹쳐진 지역 안에 놓여있을 수도, 혹은 P와 M의 겹쳐진 지역이면서 S의 바깥쪽인 곳에 놓여있을 수도 있음을 말한다는 것을 우리는 알 수 있다. 따라서 우리는 전제가 그려진 다이어그램으로부터 결론을 읽어낼 수 없고, 그러므로 이 삼단논증은 부당하다. 두 전제 모두 참인 경우에, 결론이 거짓인 것도 가능하다.

 

(c) 어떠한 유니콘도 검지 않다. 어떠한 S도 M이 아니다.

어떤 검은 것은 개이다. 어떤 M은 P이다.

---------------------------- -----------------------

어떠한 유니콘도 개가 아니다. 어떠한 S도 P가 아니다.

 

 

 

 

그림 9-15

 

그림 9-15의 벤 다이어그램 안에서, 첫 번째 전제는 우리로 하여금 원 S와 원 M 사이의 겹쳐진 부분 안에 빗금을 치도록 만든다. 그리고 나서 우리는 두 번째 전제를 나타내기 위하여, 원 M과 원 P 사이의 겹쳐진 부분 안에 x를 그려 넣어야 한다. 첫 번째 전제를 그려 넣은 경우, M과 P 사이의 겹쳐있는 지역이면서 원 S 안에도 놓여있는 부분은 비어있기 때문에, 우리는 '유동 x표시'를 사용할 필요가 없다는 것을 알 수 있다. x표시는 M과 P 사이에 빗금이 쳐 있지 않은 지역 안에만 그려 넣어질 수 있다.

우리가 이 다이어그램에서 결론을 읽어내기 위해서는, 원 S와 원 P 사이의 겹쳐진 지역에 빗금이 그어져 있어야만 했다. 그러한 경우가 아니므로, 이 삼단논증은 부당하다.

 

(d) 어떠한 지성인도 대식가가 아니다. 어떠한 P도 M이 아니다.

어떤 유명인사는 대식가이다. 어떤 S는 M이다.

---------------------------- -----------------------

어떤 유명인사는 지성인이 아니다. 어떤 S는 P가 아니다.

 

 

 

 

그림 9-16

 

첫 번째 전제는 원 P와 원 M 사이의 겹쳐진 지역에 빗금을 침으로써 그림 9-16에서와 같이 그려진다. 두 번째 전제는 원 S와 원 M 사이의 겹쳐진 지역 안에 x표시를 함으로써 나타낼 수 있다. x표시는 이 겹쳐진 부분 가운데 빗금이 그어져있지 않은 부분 안에 위치한다. 결론이 읽혀질 수 있기 위해서는 원 P의 바깥이면서 원 S의 부분 안에 x가 있어야만 한다. 이것이 바로 그 경우이므로, 위 다이어그램은 이 삼단논증이 타당함을 보여준다.

 

(e) 어떤 동물은 털복실이이다. . 어떤 S는 M이다.

어떤 털복실이는 고양이이다. 어떤 M은 P이다.

--------------------------- ----------------

어떤 동물은 고양이이다. 어떤 S는 P이다.

 

 

 

 

그림 9-17

 

첫 번째 전제를 그리기 위하여, 우리는 S와 M 사이의 겹쳐진 부분에 x표시를 한다. 하나는 원 P 안쪽에 위치하고, 나머지 하나는 원 P 바깥쪽에 위치한다.(그림 9-17을 보라) 첫 번째 전제는 우리에게 어느 쪽에 x표시를 해야하는지 말해주지 않기 때문에, 우리는 유동 x표시를 사용해야만 한다. 두 번째 전제는 P와 M 모두에게 속하는 원소가 있다는 것을 말해줄 뿐, 그 원소가 S에 속하는 것인지의 여부는 말해주지 않는다. 그러므로 우리는 또 다른 유동 x표시를 사용해야만 한다. 결론은 "x가 S와 P 사이의 겹쳐지는 영역 안에 있음"을 요구한다. 그러나 두 x표시가 모두 유동적이기 때문에, 우리는 그 영역 안에 x가 놓여있다는 것을 보장받을 수 없다. 그러므로 그 결론이 이 다이어그램으로부터 읽혀질 수 없고, 따라서 이 삼단논증은 부당하다.

 

연습문제

1. 다음 각각의 삼단논증에 대해서 (ⅰ) S, M, P개념을 구별하고 (ⅱ) 벤 다이어그램을 그려서 (ⅲ) 그 삼단논증이 타당 혹은 부당한지를 말하라. 삼단논증이 전칭전제와 특칭전제를 모두 포함하고 있을 경우, 전칭전제를 먼저 그린다면, 그림이 한결 간단해질 것이다. 그 방법을 쓰면 유동 x의 사용을 최소화할 수 있다.

a. 모든 동물이 고통을 느낀다. 고통을 느끼는 모든 것은 사고할 수 있다. 그러므로 모든 동물은 사고할 수 있다.

b. 모든 애국자는 국수주의자이다. 어떤 국수주의자는 광신적이다. 그러므로 어떤 애국자는 광신적이다.

c. 어떠한 선량한 사람도 동물을 학대하지 않는다. 어떤 아이들은 동물을 학대한다. 그러므로 어떤 아이들은 선량한 사람이 아니다.

d. 어떠한 코끼리도 길들이기 쉽지 않다. 어떤 개는 길들이기 쉽지 않다. 어떤 개는 코끼리가 아니다.

e. 나쁜 소식을 가져온 모든 전령은 냉대 받는다. 나쁜 소식을 가져온 모든 전령은 벌을 받는다. 그러므로 냉대 받는 어떤 사람은 벌을 받는다.

f. 어떤 상은 가치가 없다. 가치 없는 어떤 것을 가지면 재미있다. 그러므로 어떤 상은 가지면 재미있다.

g. 모든 다이어트는 의지력을 필요로 한다. 의지력을 필요로 하는 어떠한 것도 간단하지 않다. 그러므로 어떠한 다이어트도 간단하지 않다.

h. 어떤 삼단논증은 부당한 논증이다. 모든 삼단논증은 두개의 전제를 갖는다. 그러므로 두개의 전제를 가지는 어떤 논증은 부당하다.

i. 어떠한 삼단논증도 네 개의 개념을 가진 논증이 아니다. 네 개의 개념을 가진 어떤 논증은 부당하다. 그러므로 어떠한 삼단논증도 부당하지 않다.

j. 어떤 논증은 부당하다. 어떤 부당한 논증은 삼단논증이 아니다. 그러므로 어떤 논증은 삼단논증이 아니다.

 

2. 다음 각각의 문장 쌍들을 전제로 간주하라. 적절히 이름 붙여진 세 원으로 구성된 벤 다이어그램을 이용하여, 이러한 전제들로부터 어떤 삼단논증의 결론이, 만약 어떤 것이 있다면, 도출될 수 있는지 답하라.

a. 어떠한 축구선수도 약골이 아니다.

어떠한 발레리나도 약골이 아니다.

b. 어떤 개는 벼룩을 지니고 있다.

벼룩을 지니는 어떤 것은 좋은 애완동물이다.

c. 어떠한 학생도 지루해 하고 있지 않다.

어떤 교수님은 지루해 하고 있다.

d. 모든 뱃사람은 튼튼한 근육을 가지고 있다.

모든 뱃사람은 바다를 사랑한다.

e. 가치 있는 어떤 것들은 값이 싸다.

값이 싼 어떤 것들은 특가품이 아니다.

f. 가치 있는 어떠한 것도 무료가 아니다.

보건소에서 받을 수 있는 모든 면역 접종은 무료이다.

g. 모든 챔피언은 근면한 사람이다.

어떤 근면한 사람은 실패한다.

h. 모든 새는 알을 낳는다.

어떤 포유동물은 알을 낳는다.

i. 어떠한 조류도 냉혈동물이 아니다.

모든 파충류는 냉혈동물이다.

j. 모든 파충류는 냉혈동물이다.

어떤 공룡은 냉혈동물이 아니다.

 

 

Ⅴ. 개념들의 주연(Distribution of terms)

 

문장 안의 개념이 지칭하는 집합의 모든 원소에 관하여 문장이 무언가를 말할 때, 오직 그 때에만, 그 개념은 정언문장 안에서 주연되었다고 말한다. 예를 들어 A문장 안에서, 주어개념은 주연되어 있다. 우리가 "모든 논리학도들은 기를 쓰며 공부하고 있다"고 말할 때, 우리는 논리학도 모두에 대해 말하고 있는 것이다. 그러나 A문장의 술어개념은 주연되어있지 않다. 왜냐하면 그 문장은 기를 쓰며 공부하고 있는 모든 사람에 관하여 무언가를 말하고 있는 것이 아니기 때문이다.

E문장 안에서는 주어개념과 술어개념이 모두 주연되어 있다. 문장 "어떠한 프로축구선수도 발레리나가 아니다"는 프로축구선수인 바로 그 사람들 모두가 발레리나가 아니고, 또 발레리나인 바로 그 사람들 모두가 프로축구선수가 아님을 말한다.

I문장 안에서는 주어개념과 술어개념이 모두 주연되어 있지 않다. 이 문장은 단지, 적어도 하나의 원소를 공유하는 두 개의 집합이 있다는 것을 말할 뿐이다. I문장은 주어 집합이건 술어 집합이건 모든 원소에 관해서는 말하는 바가 없다.

O문장에서 주어개념은 주연되어 있지 않다. I문장과 마찬가지로 O문장에서의 주어개념은 집합의 모든 원소가 아니라, 집합의 어떤 원소 혹은 원소들('어떤(Some)'이라는 양화사는 하나 이상을 의미할 수 있다)만을 지칭한다. 자명한 것은 아니지만, O문장에서 술어개념은 주연되어 있다. 앞서 언급된 O문장의 대안형식("P에서 어떤 원소를 취하더라도 S에는 그것과 일치하지 않는 원소가 적어도 하나 있다.")은 O문장이 술어 집합의 모든 원소에 관해서 무언가를 말한다는 것, 즉 술어 집합의 원소와 동일하지 않은 주어 집합의 원소가 적어도 하나 있다는 것을 보여준다. 따라서, "어떤 동물은 사람이 아니다"라는 주장은 "어떠한 사람과도 같지 않은 동물이 적어도 하나 있다"는 것과 동일한 의미를 가진다. 이 때 마지막 문장이 '사람'이라는 집합의 모든 원소에 관하여 무언가를 말하고 있다는 것은 분명하다.

개념들의 주연에 관한 이러한 사실들, 즉 정언 삼단논증의 타당성을 평가하기 위한 두 번째 방식에서 중요한 역할을 담당할 이와 같은 사실들은 다음과 같이 요약될 수 있다.

 

전칭문장 : 주어개념이 주연된다.

부정문장 : 술어개념이 주연된다.

 

개념을 분배적으로(distributively) 사용하는 것(집합의 모든 원소를 각각 지칭하는 것)과 집합적으로(collectively) 사용하는 것(집합을 하나의 전체로서 지칭하는 것) 사이의 구별이 인지되지 않는다면 '주연의 오류(fallacies of distribution)'가 발생할 가능성이 있다. 둘 다 정언 삼단논증이 아닌 다음의 논증들을 살펴보자.

 

1. 나는 이 스튜가 맛있을 것이라 추측한다. 왜냐하면 스튜 안에 들어간 각각의 재료가 맛있기 때문이다.

2. 기숙사 안에 있는 메리의 방은 큰 방임에 틀림없다. 왜냐하면 그녀는 매우 큰 기숙사 안에서 살고 있기 때문이다.

 

첫 번째 논증에서, 집합적인 전체(한 그릇의 스튜)가 어떤 속성을 가졌다는 결론은, 그것의 부분들(분배적으로, 혹은 개별적으로)이 바로 그 속성을 가지고 있다는 정보를 토대로 한다. 그러나 이러한 유형의 추리는 믿을 만하지 않다. 우리는 모두 개인적으로는 뛰어난 기량의 축구선수들만으로 축구팀을 구성한다해도 형편없는 팀이 될 수 있음을, 또 뛰어난 가수들만을 모아서 합창단을 구성한다해도 기대 이하의 화음이 나올 수 있다는 것을 알고 있다. 부분에 대해서 참인 것이 필연적으로 전체에 대해서도 참인 것은 아니다. 부분에 대한 참이 전체에 대해서도 참이라는 추론의 오류, 즉 개별적인 원소에 대한 참이 집합에 대해서도 참이라는 추론의 오류는 '합성의 오류(the fallacy of composition)'라 부른다.

두 번째 논증은 전체에 대해서 참인 것이 그것의 부분들에 대해서도 참이라는 원리에 의존해 있다. 그러나 이것 역시 잘못된 추론이다. 매우 커다란 기계는 개별적으로는 매우 작은 부품들로 조립될 수 있다. 소떼는 그 집합의 원소들(소들)이 전혀 작지 않음에도 불구하고 조그마할 수 있다. 위의 논증(2)에 연관된 오류는 '분할의 오류(the fallacy of division)'라 부른다. 합성의 오류와 마찬가지로, 분할의 오류 역시 개념의 분배적인 사용과 집합적인 사용을 혼동한 데서 기인한다.

 

연습문제

1. 다음의 논증은 루크레티우스(c. 100∼55 BC)의 大철학시 [우주의 본성에 관하여](On the Nature of the Universe) 제5권 가운데 나오는 논증이다. 여기서 루크레티우스는 어떤 오류를 범하고 있는지 지적하라.

 

무엇보다도, 세계를 구성하는 것이라고 우리가 알고 있는 모든 원소들 -굳은 땅, 습기, 공기의 가벼운 숨, 타오르는 불- 이 불생불멸의 물체들로 구성되어 있으므로, 우리는 전체로서의 세계에 대해서도 동일하게 믿어야만 한다.

 

2. 다음의 논증은 분할의 오류를 범하는가?

 

과학은 우리에게, 물리적 대상들이 전적으로 전자, 양성자, 중성자 등등과 같은 소립자들로 이루어져 있으며, 소립자들은 매우 정밀한 기계장치에 의해서 그 운동이 검출될 수 있음에도 불구하고 눈에 보이지 않는다고 말한다. 과학은 또한 우리에게, 그러한 입자들이 항상 운동을 하고 있으며, 그것들 사이에는 공간이 있다고 말한다. 그러나 우리는 물리적 대상들을 볼 수 있고, 그 고체성을 느낄 수도 있으며, 그것들이 항상 운동하는 것도 아님을 볼 수 있다. 따라서 과학은 잘못된 것임에 틀림없고, 물리적 대상들은 원자나 소립자로 구성된 것일 수 없다.

 

 

Ⅵ. 삼단논증의 타당성 검토 규칙

 

우리는 벤 다이어그램을 이용함으로써, 정언 삼단논증 안에서 전제들로부터 도출되는 결론들이 타당한지를 결정할 수 있었다. 이 기법은 적용하기에 간편하고, 우리에게 실천적인 타당성 검토 방식을 제공해 준다.

벤 다이어그램과는 다른 다양한 기법들이 삼단논증의 타당함 혹은 부당함을 결정하기 위하여 사용될 수 있다. 연역 논리학자들은 어떤 전제들로부터 어떤 결론들이 따라 나오는가에 관련된 일반적인 원리들을 정형화하고 검토하는 작업에 커다란 관심을 기울여 왔는데, 그렇다고 해서 그들이 개별 논증들의 타당성을 평가하는 일에까지 그와 같은 큰 관심을 보이는 것은 아니다. 진리표와 부록1에서 논의된 증명방법은 진리-함수 논증들에 관한 일반적 원리들을 구현한다. 정언 삼단논증에 관한 다수의 또 다른 원리들의 체계가 아리스토텔레스부터 시작하여 많은 논리학자들에 의해서 탐구되어 왔다.

삼단논법을 다루는 아리스토텔레스의 방식은 벤 다이어그램의 방식과는 상당히 다르다. 이 문제에 대한 그의 접근을 이해하기 위하여, 먼저 삼단논법의 '격(figure)'이라는 개념이 소개되어야 한다. 우리는 이미 정언 삼단논증 안에서, S개념(결론의 주어개념)이 그것이 나타난 전제 안에서 주어일 수도, 혹은 술어일 수도 있다는 것, 그리고 유사하게 P개념(결론의 술어개념)이 그것이 나타난 전제 안에서 주어일 수도, 혹은 술어일 수도 있다는 것을 보았다. 따라서 다음과 같은 네 가지 가능한 배열, 즉 삼단논법의 격이 구별될 수 있다.

 

MP PM MP PM

SM SM MS MS

--- --- --- ---

SP SP SP SP

 

논증의 전제들이 언급되는 순서는 논증의 타당성과는 아무 관련이 없기 때문에, 이 격에 의존되어 있는 형식상의 변형들까지 고려할 필요는 없다. 이 논증 안의 전제들과 결론들 모두는 A, E, I, O형식의 문장들이며, 이러한 네 가지 유형의 문장들이 한번에 세 문장씩(두 문장은 전제로, 그리고 한 문장은 결론으로) 취해졌을 때, 가능한 조합은 64가지이다. '식(mood)'이라고 불리는 이 64조합 각각은 네 가지 격의 어느 하나로 나타날 수 있다. 따라서 정언 삼단논증의 형식에는 한정된 수만이 있게 된다. 그 수는 256개로 상당히 많기는 하지만, 벤 다이어그램을 사용하여 각각의 형식을 검토해 보는 것이 가능하다.(그 형식들 중 소수의 것만이 타당하다.)

타당성을 검토하기 위한 아리스토텔레스 자신의 원리 체계는, 명백히 타당한 첫 번째 격의 삼단논법을 하나의 공리로서 취급하여, 다른 격의 모든 타당한 형식들이 이 명백히 타당한 형식으로 직간접적으로 환원될 수 있음(문장을 환질하고, E 그리고 I문장 안의 주어개념과 술어개념을 교환하는 등, 3절에서 논의했던 다른 여러 변형들을 통해서)을 보이는 것과 관련되어 있다. 형식의 부당함을 보여주기 위하여, 아리스토텔레스는 명백히 참인 전제와 명백히 거짓인 결론을 가진 형식들의 논변을 예증하는, 반례(counterexample)의 방식을 이용했다. 따라서 삼단논법 논리를 다루는 아리스토텔레스의 취급방식은 하나의 연역체계로서 기하학을 다루었던 유클리드의 취급방식과 유사하며, 이 장에서 논의되고 있는 타당성 검토 방식과는 구별되는 것이다.

 

1. 타당한 삼단논증이 되기 위한 세 가지 규칙

이 절에서, 우리는 정언 삼단논증의 타당성을 검토하기 위한 세 가지 규칙들의 체계를 숙고해 볼 것이다. 이 규칙 체계는 벤 다이어그램 방식에 대한 대안 체계이며, 많은 경우에 이 방식이 벤 다이어그램을 이용하는 것보다 더 간단하다.

타당한 삼단논증이 되기 위해서 요구되는 속성들 모두는 다음의 세 가지 규칙들로 압축될 수 있다.

 

1) 매개념(중간항, middle term)은 정확히 한번 주연되어야만 한다.(이것은 매개념이 반드시 한 전제 안에서만 주연되어야 하고, 나머지 전제에서는 반드시 주연되지 않아야만 함을 의미한다.)

2) 어떠한 양끝 개념(end term)도 정확히 한번 주연되어서는 안된다.(이것은 S개념이 어떤 전제 안에서 주연되어야만, 오직 그때에만, 그 S개념은 결론 안에서 주연될 수 있음을 의미한다. 이것은 P개념에 대해서도 동일하게 참이다.)

3) 부정결론의 수는 부정전제의 수와 같아야만 한다.(즉, 정확히 하나의 부정전제가 있을 때, 오직 그 때에만, 부정결론이 있을 수 있다.)

 

이러한 요구사항들이 즉각적으로 명백해 보이는 것은 아니지만, 이것들은 기억하기에 쉽고, 또 정언 삼단논증의 타당성 검토를 위한 가장 손쉬운 방식을 제공해 준다.

만약 어떤 정언 삼단논증이 이 세 가지 규칙들 중 어느 것도 위반하지 않았다면, 그것은 타당하다. 만약 이 규칙들 가운데 어느 하나라도 위반했다면, 그 삼단논증은 부당하다.

개념이 주연된다는 것이 무엇을 의미하는지를 이해하는 것이, 왜 이러한 규칙이 작동하는가를 이해하는데 핵심적인 일이다. 그렇지만, 이러한 규칙을 삼단논증에 적용하기 위하여 우리가 알아야할 필요가 있는 것 모두는, 어떤 개념들이 주연되는가 하는 점이지, '주연'이 무엇을 의미하는가 하는 점은 아니다.

만약 어떤 개념이 결론 안에서 주연된다면, 그 결론은 그 개념이 지칭하는 집합의 모든 원소에 관하여 무언가를 말하고 있는 것이다. 어떠한 타당한 삼단논증에서라도, 전제 속에 나타난 그 개념 역시 반드시 주연되어야만 한다. 그렇지 않다면, 그 결론은, 전제는 그렇지 않은데 결론이 모든 원소에 관하여 무언가를 말하려고 한다는 의미에서, 전제를 넘어서는 것이다.

유사한 이유 때문에, 매개념(결론에서가 아니라, 각각의 전제에서 발생하는 M개념)의 발생들 중 하나는 반드시 주연되어야만 한다. 왜냐하면 S개념과 P개념(양끝 개념)이 연결되는 것은 매개념을 통해서이기 때문이다. 매개념(중간항)의 연결기능은 벤 다이어그램 안에서 명확히 드러난다. 만약 전제들 중 하나가 집합의 모든 원소에 관하여 무언가를 말하지 않는다면, 결론의 주어개념과 술어개념 사이에는 아무런 연결도 없을 수 있게 된다. 왜냐하면 주어 집합은 매개념에 의해 지시된 집합의 일부분과 연결된 반면, 술어 집합은 매개념에 의해 지시된 집합의 다른 부분과 연결될 수 있기 때문이다.

앞서의 언급은 위 규칙들을 부분적으로 정당화시켜 준다. 매개념이 왜 적어도 한번 주연되어야만 하는지에 대한 정당화는 주어졌지만, 왜 그것이 많아야 한번 주연되어야만 하는지에 대해서는 정작 아무 것도 말해진 바가 없다. 또 결론 안에서 주연된 양끝 개념이 왜 전제 안에서 주연되어야만 하는지에 관해서는 보여졌지만, 전제 안에서 주연된 양끝 개념이 왜 결론 안에서도 주연되어야만 하는지에 관해서는 보여진 바가 없다. 이 규칙들의 보다 덜 명백해 보이는 특색들 모두는 정당화될 수 있지만, 그 증명들은 종종 지루한 '경우 증명(proofs by cases)'이 되어 버린다. 그것을 증명하고자 하는 사람은 그 규칙이 작동하는 이유를 보여주기 위하여, 그 규칙이 적용 가능한 모든 가능한 삼단논증의 격들을 철저히 조사해야만 한다.

예를 들어, 어떠한 타당한 정언 삼단논증도 두 개의 부정전제를 가질 수 없음을 보이기 위하여, '경우 증명' 안에서 우리는 다음의 가능성들을 고려하기 위하여 벤 다이어그램을 이용할 수 있다.

 

(ⅰ) 두 전제 모두 E문장이다.

 

E문장 안에서 주어개념과 술어개념은 교환가능하기 때문에, 우리는 각각의 격을 분리해서 고려할 필요가 없다. 두 개의 E전제로 이루어진 어떠한 삼단논증이건 그 벤 다이어그램은 그림 9-18에서 보여지는 것과 비슷하다.

 

 

 

그림 9-18

 

우리는 벤 다이어그램을 조사해 봄으로써, 양끝 개념과 관련하여 어떠한 결론도 이러한 전제들로부터는 도출될 수 없다는 것을 알 수 있다.

 

(ⅱ) 두 전제 모두 O문장이다.

 

만약 O문장들 가운데 적어도 하나에서 매개념이 술어개념이 아니라면, 그 매개념은 주연되어 있지 않다. 따라서 그러한 3격은 부당하다.

 

MP (○)

MS (○)

SP

 

나머지 세 개의 격들에 대해서도, 벤 다이어그램은 어떠한 삼단논증의 결론도 두 개의 O전제들로부터는 도출될 수 없음을 보여줄 것이다.

 

(ⅲ) 전제 하나는 E문장이고, 나머지 전제는 O문장이다.

 

여기에는 두 가지 가능성이 있다.

 

(a) P개념을 포함하는 전제가 E문장이다. 여기에서는 두 개의 벤 다이어그램이 관련된다.(그림 9-19를 보라.) 왼쪽의 다이어그램은 "어떤 S는 M이 아니다"를 나타내고, 오른쪽의 다이어그램은 "어떤 M은 S가 아니다"를 나타낸다. 그 어떠한 것도 삼단논법적 결론을 보여주지 못한다.

 

 

 

그림 9-19

 

(b) S개념을 포함하는 전제가 E문장이다. 여기에서는 두 개의 벤 다이어그램이 관련된다.(그림 9-20을 보라.) 왼쪽의 다이어그램은 "어떤 P는 M이 아니다"를 나타내고, 오른쪽의 다이어그램은 "어떤 M은 P가 아니다"를 나타낸다. 그 어떠한 것도 삼단논법적 결론을 산출하지 못한다.

 

 

 

그림 9-20

 

세 번째 규칙의 일부분은 이처럼 '경우 증명' 안에서 정당화된다. 왜냐하면 우리는 어떠한 삼단논증이든 부정전제의 수가 부정결론의 수보다 많을 경우, 그 삼단논증은 부당하다는 것을 보여주었기 때문이다.(어떠한 삼단논증이건 명백히 단지 하나의 결론만을 가질 수 있다.)

 

연습문제

앞서의 '경우 증명'과 유사한 증명방식을 통해서, 부정결론의 수가 부정전제의 수보다 많은 어떠한 삼단논증도 부당하다는 것을 보여라.(부정 결론을 가지고 있는 어떠한 타당한 삼단논증이건, 그것은 적어도 하나의 부정전제를 가져야만 한다는 것을 보여라) 반드시 모든 가능한 경우를 다 고려하도록 하라.

 

2. 타당성을 검토하기 위한 규칙들의 사용 예

주어개념은 전칭문장 안에서 주연되어지고, 술어개념은 부정문장 안에서 주연된다는 점을 기억하라. 주연되는 모든 개념들은 논증 형식 안에서 d(d 아래첨자)로써 표시될 것이다.

 

(a) 모든 군인은 용감한 사람이다. 모든 Md는 S이다.

어떤 군인은 무모한 사람이 아니다. 어떤 M은 Pd가 아니다.

---------------------------------------- -----------------------

어떤 용감한 사람은 무모한 사람이 아니다. 어떤 S는 Pd가 아니다.

 

1) 매개념이 첫 번째 전제 안에서 주연되었으나, 두 번째 전제 안에서는 주연되지 않았다. 그러므로 매개념은 정확하게 한번 주연되었다.

2) S는 첫 번째 전제 안에서나 결론 안에서나 주연되지 않았다. P는 두 번째 전제와 결론에서 모두 주연되었다. 그러므로 어떠한 양끝 개념도 정확히 한번 주연되지 않았다.

3) 두 번째 전제만이 유일한 부정전제이다. 결론 역시 부정이다. 따라서 부정전제의 수는 부정결론의 수와 같다.

 

이 삼단논증은 타당하다.

 

(b) 모든 축구 팬은 광적인 사람들이다. 모든 Pd는 M이다.

어떤 광적인 사람은 어리석은 사람이다. 어떤 M은 S이다.

---------------------------------------- -----------------------

어떤 어리석은 사람은 축구 팬이다. 어떤 S는 P이다.

 

1) 매개념이 두 전제 중 어느 쪽에서도 주연되지 않았다.

 

이 삼단논증은 부당하다.(규칙 하나의 위반만으로도 부당성을 보여주기에는 충분하다. 그러나 P가 정확히 한번 주연되었기 때문에, 두 번째 규칙 역시 위반되었음을 주목하라.)

 

(c) 어떠한 어려운 과목도 무가치하지 않다. 어떠한 Md도 Pd가 아니다.

어떤 논리학 수업은 어렵지 않다. 어떤 S는 Md가 아니다.

---------------------------------------- -----------------------

어떤 논리학 수업은 무가치하지 않다. 어떤 S는 Pd가 아니다.

 

1) 매개념이 두 전제 안에서 모두 주연되었다.

 

이 삼단논증은 부당하다. (또한 세 번째 규칙이 위반되어졌음을 주목하라. 이 삼단논증은 두 개의 부정전제와 하나의 부정결론으로 되어 있다.)

 

연습문제

1. 다음 정언 삼단논증의 전제들과 결론들을 확인하여 그 전제들과 결론들을 표준 정언형식으로 만들어라. 논증의 타당성, 혹은 부당성을 결정하기 위하여 이 절에서 배운 규칙을 사용하라. 만약 삼단논증이 부당하다면, 그것은 어떤 규칙, 혹은 규칙들을 위반했는지 지적하라.

a. 어떤 새들은 날지 못한다. 왜냐하면 타조는 새이고, 모든 타조는 날지 못하기 때문이다.

b. 체구가 크지 않은 어떠한 사람도 육상선수가 아니다. 따라서 어떠한 흡연가도 육상선수가 아니다. 왜냐하면 모든 흡연가는 체구가 크지 않은 사람이기 때문이다.

c. 모든 장군들이 전쟁광인 것은 아니다. 그러나 어떤 해군대장들은 전쟁광이다. 따라서 어떠한 해군대장도 장군이 아니다.

d. 어떤 고스톱 놀이는 구경하기에 흥미롭다. 그러나 어떠한 도둑잡기 놀이도 구경하기에 흥미롭지 않다. 그러므로 어떤 고스톱 놀이는 도둑잡기 놀이가 아니다.

e. 고래는 허파를 가지고 있다. 그러나 어떠한 물고기도 그렇지 못하다. 그래서 고래는 물고기가 아니다.

f. 모든 보석은 비싸다. 그러나 어떤 수정은 비싸지 않다. 따라서 수정은 보석이 아니다.

g. 모든 페미니스트는 ERA를 지지했다. 그러나 어떤 여자들은 ERA를 지지하지 않았다. 그러므로 어떤 페미니스트는 여자가 아니다.

h. 모든 돌고래는 포유동물이다. 그러나 어떠한 물고기도 포유동물이 아니다. 따라서 어떠한 돌고래도 물고기가 아니다.

i. 타조는 결코 날지 않는다. 그러나 새는 항상 난다. 따라서 타조는 새가 아니다.

j. 모든 소파가 침대는 아니다. 그러나 어떤 침대는 불편하다. 따라서 어떤 소파는 불편하다.

 

2. 타당한 삼단논증을 위한 규칙들의 어떤 체계는 다음의 규칙을 포함한다.

 

어떠한 삼단논법의 결론도 두 개의 특칭전제로부터 이끌려 나올 수 없다.

 

이 규칙의 정당성을 증명하라. (힌트: 여러분은 각각의 경우를 지지하기 위하여 벤다이어그램을 사용하는 '경우 증명'을 할 수 있다. 그렇지 않다면 여러분은 타당한 삼단논증이 되기 위한 세 가지 규칙들의 집합에 호소하여 이 규칙이 그 집합으로부터 도출된다는 것을 보여줄 수 있을 것이다.)

 

 

Ⅶ. 삼단논증 안에서 개념들의 수 줄이기

 

정의에 의하면, 정언 삼단논증은 세 개 이상의 개념을 포함할 수 없다. 그러나 세 개 이상의 개념을 포함하는 다수의 논증들이 동치인 정언 삼단논증으로 변형될 수 있다. 일상어 논증에서는 수사적 목적을 위하여 동의어가 자주 사용된다. 동일한 용어가 여러 번 반복되지 않을 때, 언어는 보다 흥미로와 진다. 우리가 논증의 타당성을 평가하기 위하여 그것을 재구성하고자할 때, 명백히 동의어는 동일 개념으로 취급될 수 있다.

다른 경우에는 논증들이 여집합 관계에 있는 개념의 쌍 모두를 포함한다. 그러한 경우에는 어떤 정언문장을 환질함(질을 바꾸고, 술어개념을 그것의 여집합으로 교체함)으로써 개념들의 수를 줄이는 것이 가능하다. 환질은 오직 술어 자리에 여분의 개념이 발생할 때에만 개념들의 수를 줄일 수 있기 때문에, 환질을 하기 이전에 주어개념과 술어개념을 교환하는 것이 필요할 수 있다.(이 교환은 오직 I문장과 E문장 안에서만 적법하다는 것을 상기하라.) 두 전제 모두가 정언문장이고, 결론도 정언문장인데, 논증 안에 네 개의 개념이 있는 다음의 논증을 살펴보자.

 

모든 퍼즐은 어렵다.

모든 논리학 연습문제는 퍼즐이다.

---------------------------------------

어떠한 논리학 연습문제도 쉽지 않다.

 

먼저 우리는 '어려움'과 '쉬움'이란 개념이 여집합 개념이라는 것을 유의해 두자. 만약 첫 번째 전제가 환질된다면, 그것은 "어떠한 퍼즐도 쉽지 않다"가 된다. 이 정언문장은 "모든 퍼즐은 어렵다"는 문장과 동치이다. 동치인 새로운 삼단논증 안에서 개념들의 수는 이제 단지 세 개가 되고, 이 삼단논증은 타당한 삼단논증이 되기 위한 규칙들에 의해서, 혹은 벤 다이어그램 방식에 의해서 검토될 수 있다.

 

어떠한 M도 P가 아니다.

모든 S는 M이다.

-----------------------

어떠한 S도 P가 아니다.

 

이 일상 언어 논증 안에서 개념들의 숫자를 줄이는 또 다른 방식은 첫 번째 전제 대신에 결론을 환질하는 방법이다. 그렇게 되면 결론은 "모든 논리학 연습문제는 어렵다"가 된다. 다시금 정언 삼단논증이 나오는데, 그것은 다음의 형식을 가지게 된다.

 

모든 M이 P이다.

모든 S는 M이다.

----------------

모든 S는 P이다.

 

(이 형식 안에서, P개념은 '어려움'이다. 반면 앞서의 형식에서, P개념은 '쉬움'이다.) 이것은 타당한 삼단논증의 형식인가?

다음의 논증은 다섯 개의 개념들을 포함하고 있다.

 

어떤 비신앙인은 자유사상가이다. 왜냐하면 어떠한 신앙인도 무신론자가 아니며, 어떤 무신론자는 非자유사상가이기 때문이다.

 

P가 자유사상가를, S가 신앙인을, M이 무신론자를 나타낸다고 한다면, 우리는 이 논증을 다음과 같이 형식화할 수 있다.

 

어떠한 S도 M이 아니다.

어떤 M은 非-P이다.

-----------------------

어떤 非-S는 P이다.

 

첫째로, 우리는 두 번째 전제를 환질한다. 우리는 I문장을 O문장으로 바꾸고, 非-P를 P로 바꾼다.

 

어떤 M은 P가 아니다.

 

다음에 우리는 개념 S와 개념 非-P의 쌍을 줄인다. 우리는 결론 안에서의 주어개념과 술어개념을 교체함으로써 시작한다. 결론이 I문장이기 때문에 이것은 적법한 것이다.

 

어떤 P는 非-S이다.

 

그리고 이 문장은 환질을 통해 다음과 같이 바꿀 수 있다.

 

어떤 P는 S가 아니다.

 

단지 세 개의 개념만을 포함하는 것으로 재구성된 논증은 다음의 형식을 갖는다.

 

어떠한 S도 M이 아니다.

어떤 M은 P가 아니다.

-----------------------

어떤 P는 S가 아니다.

 

이것은 삼단논증의 타당한 형식인가?

 

연습문제

다음 각각의 논증을 표준형식의 정언 삼단논증으로 재구성하라. 타당한 삼단논증이 되기 위한 규칙들이나 벤 다이어그램을 이용하여 각 삼단논증의 타당성을 검토하라.

1. 어떤 사람들은 非남녀차별주의자이다. 왜냐하면 모든 남녀차별주의자들은 여성에 대한 동등한 권리를 반대하고, 어떤 사람은 여성에 대한 동등한 권리를 반대하지 않기 때문이다.

2. 어떤 튼튼한 사람은 감수성이 예민하다. 그러나 어떠한 시인도 감수성이 무디지 않다. 그러므로 어떤 시인은 튼튼한 사람이다.

3. 모든 현대적 건축양식은 소박하다. 그러나 최근에 건축된 어떤 건물은 화려하다. 따라서 모든 새로운 건물들이 현대적 양식으로 건축되는 것은 아니다.

4. 어떤 먹거리는 비독성이다. 왜냐하면 모든 곤충은 먹을 수 있고 어떤 곤충은 독성이 있기 때문이다.

5. 어떠한 남자도 자진해서 죽으려 하지 않는다. 그러나 여자는 남자가 아니다. 따라서 어떤 여자는 죽기 꺼려하지 않는다.

6. 라틴어를 말하는 어떠한 사람도 라틴 아메리카에 살지 않는다. 그러나 모든 라틴 아메리카인들이 그곳에 사는 것은 아니다. 따라서 어떤 라틴 아메리카인들은 라틴어 사용자들이다.

7. 당근을 즐겨 먹는 사람은 건강식 애호가이다. 건강식을 즐겨 찾는 어떠한 사람도 초콜릿을 먹지 않는다. 따라서 초콜릿을 즐겨먹는 사람은 당근을 즐겨먹는 사람이 아니다.

8. 모든 방은 그 방의 거주자들에 의해 사용될 때, 최고로 좋아 보인다. 만약 방이 편안하게 기능할 수 있는 방식으로 배치되지 않는다면, 그 방은 결코 사용되지 않을 것이다. 그러므로 방이 편안하게 배치되기 전까지는 어떠한 방도 최고로 좋아 보이지 않을 것이다.

 

(9번부터 11번까지의 연습문제는 포트 로얄 논리학이라고도 불리는「사고의 기술](The Art of Thinking)로부터 인용되거나 각색되었다. 포트 로얄 논리학은 Antoine Arnauld에 의해서 기획된 17세기의 논리학 교재로서, 귀족 자제들을 대상으로 열흘동안 논리학에 관해 알 수 있는 모든 것을 기록한 책이다.)

 

9. 부분을 가지지 않는 것은 부분들의 분해에 의해서 사멸할 수 없다.

영혼은 부분을 가지지 않는다.

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영혼은 부분들의 분해에 의해서 사멸할 수 없다.

 

10. 어떠한 덕(virtue)도 불쾌하지 않다.

어떤 열정은 유쾌하지 않다.

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어떤 열정은 덕스럽지 못하다.

 

11. 모든 거짓말쟁이는 믿을 만하지 않다.

모든 강직한 사람은 믿을 만하다.

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모든 거짓말쟁이는 강직하지 않은 사람이다.

 

 

Ⅷ. 일상어논증을 삼단논증으로 재구성하기

 

일상 언어로 진술된 불완전한 논증들, 혹은 정언형식을 갖추지 않은 많은 논증들이 정언 삼단논증으로 적절히 재구성될 수 있다.

 

예

(a) 시몬느 보브와르의 [애매성의 윤리학](The Ethics of Ambiguity)에 나오는 다음의 구절을 살펴보자.

 

삐에르푀(Pierrefeu)는 플루타아크 영웅전 안에서 다음과 같이 옳게 이야기한 적이 있는데, 전쟁에서 실패하지 않았다고 볼 수 있는 승리는 없다는 것이다. 왜냐하면 전쟁에서 한쪽 편이 목표로 하는 것은 적군의 완전한 소멸인데, 그러한 전과는 결코 얻어질 수 없는 것이기 때문이다.

 

이 논증은 다음과 같은 삼단논증 형식으로 진술될 수 있다.

 

전쟁에서의 모든 성공적인 승리는 적군의 완전한 소멸을 이루는 것이다.

전쟁에서의 어떠한 실제적인 승리도 적군의 완전한 소멸을 이룰 수 없다.

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전쟁에서의 어떠한 실제적인 승리도 전쟁에서의 성공적인 승리가 아니다.

 

(b) 톨스토이의 [예술이란 무언인가?](What is Art?) 12장에 나오는 다음의 논증 역시 삼단논증으로 개조할 수 있다.

 

예술을 흉내내기만 하는 사이비 예술에 익숙해 있는 사람들은 진짜 예술을 이해할 수 있는 길에서 점점 멀어지게 된다. 그리고 이것이 바로 예술 전문학교를 졸업해서, 그 예술인들 가운데 가장 성공했다는 사람이 예술에 대해서 가장 둔감한 사람이 되어버리는 이유이다. 예술 전문학교는 예술의 위선을 양산해 낸다.

 

이 논증은 삼단논증으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

예술 전문학교를 성공적으로 졸업한 모든 사람은 예술을 흉내내기만 하는 사이비 예술에 익숙해지게 된다.

예술을 흉내내기만 하는 사이비 예술에 익숙해 있는 모든 사람들은 진짜 예술에 대해서는 가장 둔감한 사람들이다.

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예술 전문학교를 성공적으로 졸업한 모든 사람은 진짜 예술에 대해서는 가장 둔감한 사람들이다.

 

(c) 다음의 논증은 아우구스티누스의「참회록」10권에서 발췌한 것이다. 진술되지 않은(그렇지만 명백하게 의도된) 전제가 보충된다면, 이것 역시 정언 삼단논증으로 보여질 수 있다.

 

행복한 삶은 눈으로 보이는 것이 아니다. 왜냐하면 그것은 육체가 아니기 때문이다.

 

이 논증은 삼단논증 형식으로 다음과 같이 된다.

 

어떠한 행복한 삶도 육체가 아니다.

눈으로 볼 수 있는 모든 것은 육체이다.

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어떠한 행복한 삶도 눈으로 볼 수 있는 것이 아니다.

 

(d) 마지막 예는 스테펜 제이 굴드의 [인간의 오류척도](The Mismeasure of Man)에서 발췌되었다.

 

만일 내가 한가롭고 안락한 삶을 영위하고자 하는 어떤 욕망을 갖고 있다면, 나는 일란성 쌍둥이로 태어나서 내 쌍둥이 형제와 떨어진 채 다른 사회적 계층 안에서 성장하고자 바랄 것이다. 우리 쌍둥이 형제는 수많은 사회과학자들에게 고용되어서 실제로 우리가 원하는 만큼의 보수를 그들에게 요구할 수 있을 것이다. 왜냐하면 우리는 유전적으로 동일한 개인이 근본적으로 다른 환경 안에서 자란다는, 인간에게 있어 환경적 효과로부터 분리된 유전자의 성장을 보여준다는, 적절한 자연 실험의 극도로 희귀한 전형이 될 것이기 때문이다.

 

이 논증의 삼단논증적 재구성은 다음과 같다.

 

유전자적으로는 동일하면서 근본적으로 다른 환경 안에서 자란 모든 사람들은 인간에게 있어 환경적 효과로부터 분리된 유전자의 성장을 보여준다는, 적절한 자연실험의 전형이다.

인간에게 있어 환경적 효과로부터 분리된 유전자의 성장을 보여준다는, 적절한 자연실험의 모든 전형으로서의 사람은 사회과학자들에게 한가롭고 안락한 삶을 영위할 수 있을 만한 충분한 보수를 요구할 수 있는 사람들이다.

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유전자적으로는 동일하면서 근본적으로는 다른 환경 안에서 자란 모든 사람들은 사회과학자들에게 한가롭고 안락한 삶을 영위할 수 있을 만한 보수를 요구할 수 있는 사람들이다.

 

 

Ⅸ. 준삼단논법과 연환식(Quasi-Syllogism and Sorites)

 

준삼단논법

전칭 전제, 어떤 특정 개체가 주어 집합의 원소임을 진술하는 전제, 그리고 그 개체가 술어 집합의 원소임을 진술하는 결론으로 이루어진 다음과 같은 삼단논법을 준삼단논법이라 부른다.

 

모든 사람은 죽는다.

소크라테스는 사람이다.

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소크라테스는 죽는다.

 

이것은 명백히 타당한 형식을 가진 추론의 경우이지만, 이것이 그대로 정언 삼단논법인 것은 아니다. 왜냐하면 특정 개체를 언급하는 (단칭문장이라 불리는) 문장이 정언적이지는 않기 때문이다. 삼단논법 논리학의 한 취급방식은 단칭문장을 위장된 전칭 일반화로 해석하는 것이다.

 

단 하나의 원소가 소크라테스인 그 집합의 모든 원소는 사람이다.

 

만약 단칭문장이 이런 방식으로 해석된다면, 앞선 준삼단논증은 타당한 형식의 경우가 된다.

 

모든 M은 P이다.

모든 S는 M이다.

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모든 S는 P이다.

 

준삼단논법은 부정 전칭전제와도 함께 발생할 수 있다.

 

어떠한 쥐도 물고기가 아니다.

미키마우스는 쥐다.

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미키마우스는 물고기가 아니다.

 

이 삼단논증의 결론은 다음과 같이 해석될 수 있다.

 

유일한 원소가 미키마우스인 그 집합의 어떠한 원소도 물고기가 아니다.

 

이 단칭전제를 위장된 전칭 일반화로 해석하면, 이 준삼단논증은 타당한 정언 형식의 경우가 된다.

 

어떠한 M도 P가 아니다.

모든 S는 M이다.

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어떠한 S도 P가 아니다.

 

준삼단논증을 해석하는 또 다른 방식은 10장에서 논의될 것이다.

 

연환식

연환식이란, 전제로서 두 개 이상의 정언문장을 가지면서, 최종적인 정언결론이 삼단논법 추론의 연쇄적 수행을 통해 도출되는 논증을 말한다. 세 개의 전제로 이루어진 연환식 안에서는 진술된 전제의 쌍으로부터 도출된 매개 결론이 부가 전제로 사용되고, 논증의 최종 결론을 산출해 내기 위하여 그것이 세 번째 전제와 결합된다.

세 개 이상의 전제로 이루어진 연환식에서, 매개 결론을 이끌어내고, 그것들을 부가 전제로서 사용하는 일련의 과정은 최종 결론에 도달하기 위하여 요구되는 만큼 여러 번 수행되게 된다. '이상한 나라의 앨리스'의 저자로 잘 알려져 있는 뛰어난 논리학자, 루이스 캐롤은 이 유형의 논증을 그의 '기호 논리학(Symbolic Logic)'에서 논의하고 있다. 다음의 모든 예들은 그의 책 안에서 발췌한 것이다. 첫 번째 두 예들에 대한 해답은 제시되어 있다. 남아있는 전제들의 집합은 연습문제이다.

 

예

(a) (ⅰ) 어떠한 오리도 왈츠를 추지 않는다.

(ⅱ) 어떠한 장교도 왈츠 추기를 거절하지 않는다.

(ⅲ) 우리 집에서 키우는 모든 동물은 오리이다.

 

'오리'를 매개념으로 잡아, 첫째 전제와 셋째 전제가 매개 결론을 산출하기 위하여 결합될 수 있다.

 

(ⅳ) 우리 집에서 키우는 어떠한 동물도 왈츠를 추지 않는다.

 

"어떠한 장교도 왈츠 추기를 거절하지 않는다"는 문장은 환질되어 다음과 같이 된다. "모든 장교들은 왈츠를 춘다" 이것은 매개 결론 (ⅳ)와 결합되어서 다음과 같은 최종 결론을 산출해 낼 수 있다.

 

(ⅴ) 어떠한 장교도 우리 집에서 키우는 동물이 아니다.

 

(ⅴ)와 동치인 결론 "우리 집에서 키우는 어떠한 동물도 장교가 아니다" 역시 이 전제들로부터 도출될 수 있다.

 

(b) (ⅰ) 신선한 내 감자 가운데 어떠한 것도 삶아져 있지 않다.

(ⅱ) 접시 위의 내 모든 감자는 먹기에 적당하다.

(ⅲ) 삶아지지 않은 내 감자 가운데 어떠한 것도 먹기에 적당하지 않다.

 

'먹기에 적당한 것'을 매개념으로 취하면, 전제 (ⅱ)와 (ⅲ)은 중간 결론을 제공하기 위하여 다음과 같이 결합될 수 있다.

 

(ⅳ) 삶아지지 않은 내 감자 가운데 어떠한 것도 접시 위의 내 감자가 아니다.

 

이 매개 결론이 전제 (ⅰ)과 결합되기 전에, 개념들의 수를 반드시 줄여야만 한다. '삶아진'과 '삶아지지 않은'은 여집합 개념이기 때문에, 우리는 '삶아진'이 술어 위치에서 발생한 전제 (ⅰ)을 환질할 것이다. 전제 (ⅰ)를 환질하면,

 

(ⅴ) 신선한 내 모든 감자는 삶지 않은 감자이다.

 

(ⅳ)와 (ⅴ)를 결합하여, 우리는 최종 결론을 얻는다.

 

신선한 내 감자 가운데 어떠한 것도 접시 위의 내 감자가 아니다.

(혹은, 덜 어색하게, "내 감자 가운데 어떠한 것도 접시 위에 있지 않다.")

 

연습문제

 

결론 "신선한 내 모든 감자는 먹기에 적당하지 않다"가 세 개의 원래 전제들로부터 도출됨을 보여라.

 

(c) (ⅰ) 교육을 잘 받지 않은 사람이라면, 어떠한 사람도 타임지를 읽을 수 없다.

(ⅱ) 어떠한 고슴도치도 읽을 수 없다.

(ⅲ) 읽지 못하는 사람들은 교육을 잘 받지 않은 사람들이다.

(d) (ⅰ) 제 정신을 가진 모든 사람은 논리학을 할 수 있다.

(ⅱ) 어떠한 정신병자도 배심원으로 일하기에는 적당치 않다.

(ⅲ) 당신의 아들 어느 누구도 논리학을 할 수 없다.

(e) (ⅰ) 모든 벌새는 다채로운 색깔을 띠고 있다.

(ⅱ) 어떠한 큰 몸집의 새도 꿀을 모으며 살아가지는 않는다.

(ⅲ) 꿀을 모으며 살아가지 않는 새들은 단조로운 색깔을 띠고 있다.

(f) (ⅰ) 타조를 제외하고, 어떠한 새도 키가 2m 70㎝를 넘지 않는다.

(ⅱ) 이 새장 안에, 내가 아닌 다른 사람 소유의 새는 한 마리도 없다.

(ⅲ) 어떠한 타조도 빈대떡을 먹고살지는 않는다.

(ⅳ) 나는 키가 2m 70㎝가 되지 않는 어떠한 새도 가지고 있지 않다.

 

 

Ⅹ. 요약 및 정리

 

2,000년도 더 오랫동안 연구되어온 삼단논법 논리학의 용어들 가운데 어떤 것들은 논리학 교실 안에서 지배적으로 사용되고 있지만, 대다수의 용어들이 교양인들의 일상 어휘 안에서도 사용되고 있음을 발견할 수 있다. 이 장에서 사용된 새롭고 중요한 용어들의 목록을 짧은 정의와 함께 정리해 보겠다.

 

정언문장(Categorical Sentence) : 정언문장에는 네 가지 표준적인 형식이 있는데, S가 주어개념을, P가 술어개념을 나타낸다고 하면, 그 형식들은 다음과 같이 된다.

1) 모든 S는 P이다. (전칭 긍정, A문장)

2) 어떠한 S도 P가 아니다. (전칭 부정, E문장)

3) 어떤 S는 P이다. (특칭 긍정, I문장)

4) 어떤 S는 P가 아니다. (특징 부정, O문장)

정언 삼단논증(Categorical Syllogism) : 다음의 특색이 이러한 유형의 논증을 특성화한다.

1) 각각의 정언문장은 두 개의 전제와 한 개의 결론으로 이루어져 있다.

2) 논증에는 오직 세 개의 개념이 나타난다. 그 개념 가운데 하나는 각각의 전제 안에서 한번씩 발생하고, 나머지 두 개념은 전제들 가운데 하나 안에서 한번, 그리고 결론 안에서 한번 발생한다.

여집합 개념(Complementary Terms) : 문장 쌍 가운데 한 개념이 어떤 집합을 지칭하고, 그 쌍의 나머지 개념이 그 집합의 여집합(원래 집합의 원소가 아닌 것들 모두로 구성된 집합)을 지칭할 때, 개념들의 그 쌍은 여집합적이다.

모순문장(Contradictory Sentences) : 어떤 문장 쌍 안에서 하나의 문장이 다른 문장의 부정일 때, 그 쌍은 모순이다. 모순문장의 쌍 안에서 하나가 참이면 나머지 하나는 거짓이다. 왜냐하면 동일한 주어와 술어를 가진 정언문장은, E문장과 I문장이 그러하듯이, A문장과 O문장이 모순이기 때문이다.

이환(Contrapositon) : A 혹은 O문장의 이환은 주어개념과 술어개념의 위치를 교환하고 각각을 여집합 개념으로 교체시킴으로써 이루어진다. 이환은 A와 O문장에 있어 그 의미를 보존시키나 I와 E문장에 있어서는 그렇지 못하다.

반대문장(Contrary Sentences) : 문장 쌍이 둘 다 거짓일 수는 있는데, 둘 다 참일 수는 없는 그러한 방식으로 연관되어져 있을 때, 그 문장은 서로 반대이다. 정언문장에 대한 아리스토텔레스적 해석 안에서 A문장과 E문장은 반대이다.

환위(Conversion) : 주어개념과 술어개념이 상호 교환될 때, 그 정언문장은 환위된다. I문장과 E문장의 환위는 원래의 문장과 동일한 의미를 산출하나, A문장과 O문장의 환위는 그렇지 못하다.

개념들의 주연(Distribution of Terms) : 어떤 문장이 한 집합의 모든 원소를 지칭할 때, 그 집합을 지칭하는 그 개념은 주연되었다고 말해진다. 전칭 정언문장 안에서는 주어개념이 주연되고, 부정 정언문장 안에서는 술어개념이 주연된다.

존재 함축(Existential Import) : 문장이 어떤 대상의 존재를 주장할 때, 그 문장은 존재 함축을 갖는다. 그 문장이 실질적 조건문(material condition)으로 이해될 때, 전칭 정언문장은 존재 함축을 결여하나, 특칭 정언문장은 존재 함축을 갖는다.

주연의 오류(fallacies of distribution) : 전제 안에서 집합적으로 사용된 개념이 결론 안에서는 분배적으로 해석되었을 때(분할의 오류), 혹은 전제 안에서 분배적으로 사용된 개념이 결론 안에서는 집합적으로 해석되었을 때(합성의 오류) 발생하는 추론의 오류.

삼단논증의 격(Figure of a Syllogism) : '격'은 전제 안의 양끝 개념(S개념과 P개념)과 매개념(M개념)의 배열을 지칭한다. 네 가지 격이 있을 수 있는데, 그것은 다음과 같다.

 

MP PM MP PM

SM SM MS MS

--- --- --- ---

SP SP SP SP

 

환질(obversion) : 문장의 질이 바뀌고, 그 문장의 술어개념이 그것의 여집합으로 교체되었을 때, 그 정언문장은 환질된다. 그 결과 나온 문장은 원래의 문장과 논리적으로 동치인 정언문장이다.

정언문장의 질(Quality of a Categorical Sentence) : 정언문장의 질은 그 문장이 부정인가 긍정인가를 지칭한다. A문장과 I문장의 질은 긍정이고, E문장과 O문장의 질은 부정이다.

준삼단논증(Quasi-Syllogism) : 전칭전체, 단칭전제, 그리고 단칭결론으로 구성된 세 개념 삼단논증.

연환식(Sorites) : 전제로서 세 개 이상의 정언문장을 가지고 있으며, 그 두 전제로부터 매개 결론을 이끌어내고, 그 결론을 또 다른 전제와 결합시켜 새로운 삼단논증 결론을 이끌어 내는 방식의 논증을 말한다. 이 패턴은 남아있는 전제를 이용하여 최종적인 결론에 도달할 때까지 반복된다.

소반대문장(Subcontrary Sentence) : 문장 쌍이 둘 다 참일 수는 있으나, 둘 다 거짓일 수는 없는 그러한 방식으로 연관되어 있을 때, 그 문장들은 소반대이다. 정언문장에 관한 아리스토텔레스적 해석 하에서 동일한 주어개념과 동일한 술어개념을 가지는 I문장과 O문장은 소반대이다.

벤 다이어그램(Venn Diagrams) : 집합의 원소관계, 집합의 포함과 배제를 나타낼 수 있는 겹침 원들의 집합. 이 다이어그램은 정언문장 안에 있는 집합들 사이의 관계를 보여주고, 또 삼단논증의 타당성을 검토하기 위하여 사용된다.