제8장 타당성이 문장 연결사에 의존하는 논증들

Ⅰ. 서론

1. 가언 삼단논법

2. 딜레마

3. 거짓 딜레마

4. 선언 삼단논법

Ⅱ. 연결사를 기호화하기

Ⅲ. 일상어 문장을 기호화하기

Ⅳ. 복합 문장의 진리값을 결정하기

Ⅴ. 논증 형식의 타당성 또는 부당성을 결정하기

Ⅵ. 동어반복, 자기모순, 그리고 우연적 문장

Ⅶ. 논리와 컴퓨터: 진리함수적 논리의 적용

1. 수의 표상

ⅰ. 십진법 체계

ⅱ. 이진법 체계

2. 이진법 덧셈

3. 덧셈기(Adder)의 구성

4. 선언적 표준 형식(Disjunctive Normal Forms)

Ⅷ. 복습 (REVIEW)

Ⅰ. 서론

이 장에서는 6장에서 시작된, 타당성이 문장들 사이의 진리함수적 연결사에 의존하는 연역적 논증의 분석을 계속할 것이다. 우리는 이미 전건긍정법(modus ponens)과 후건부정법(modus ponens) 그리고 이러한 타당한 추론 형식과 유사한 오류 형식들을 이미 논의했다. 일상어의 "만약...이면(if ...then)"과 "아니다(not)"에 의해 표현되는 두 개의 문장 연결사들은 6장에서 도입되었다. "만약...이면"의 진리함수적 의미는 다음 표에 의해 주어진다. (여기서 p와 q는 어떤 두 문장을 나타낸다) :

p q 만약 p라면 q

참 참 참

참 거짓 거짓

거짓 참 참

거짓 거짓 참

이 표는 전건이 거짓이거나 또는 후건이 참일 경우 그 조건문은 참이라고 말하는 것에 의해 요약될 수 있다.

부정의 진리함수적 의미는 다음의 표에 의해 주어진다 :

p p가 아니다

참 거짓

거짓 참

이 표는 원래 문장이 참일 때 그 부정 문장은 거짓이고, 원래 문장이 거짓일 때 그 부정 문장은 참이라고 말하는 것에 의해 요약될 수 있다.

일상어의 "또는(or)", "그리고(and)" 그리고 "일 경우 그리고 오직 그 경우에만(if and only if)"에 의해 표현되는 연결사들도 역시 진리함수적으로 정의될 수 있고, 이에 의해 일상어 논증의 많은 부분이 진리함수적 용어들을 이용하여 분석될 수 있다. 우리는 몇몇 흔한 진리함수적 논증 형식을 도입하고, 그 후 타당성이 진리함수적 연결사에 의존하는 어떤 논증 형식에 대해서도, 그것의 타당성과 부당성을 결정하는 일반적인 방법을 제시할 것이다.

"진리함수적 논리", "문장 논리" 또는 "명제 논리"로 불려지는 이러한 논리 영역은 두 개의 중요한 원리에 기초해 있다는 것을 지적하는 것은 유용할 것이다.

1. 모든 문장은 참이거나 거짓이다.

2. 어떠한 문장도 참이면서 거짓인 것은 아니다.

첫 번째 원리는 때때로 "배중율"이라고 불려진다; 두 번째 원리는 "모순율"이라고 불려진다. 첫 번째 원리는 "비가 온다"와 같은 문장이 참이거나 거짓이라는 것을 보장한다; 두 번째 원리는 문장 "비가 온다"가 동시에 참이면서 거짓일 수 없다는 것을 보장한다. 이러한 원리들은 발화의 특정 맥락에서 문장에 적용된다고 이해되어야 한다. 예를 들면 "비가 온다"는 발언은 특정 시간과 장소가 묵시적으로 전제된 것으로 이해되어야 한다. 이것이 명시적으로 쓰여진다면, 그 문장은 "2000년 1월 1일, 뉴욕 워싱턴 광장에 비가 온다"와 같은 것이다. 분명히 "비가 온다"는 문장은 비가 오는 시간과 장소에 적용될 때 참이고, 비가 오지 않는 시간과 장소에 적용될 때 거짓이다. 그러나 그 문장이 특정 시간이나 장소를 언급하는 것으로 이해될 때, 그 원리들이 적용된다. 어떤 문장들(보편 문장들)은 모든 시간과 모든 장소를 언급하는 것으로 이해된다("모든 인간은 죽는다"). 적절하게 이해될 때, 배중율과 모순율은 충분히 뚜렷하고, 이 논리 연구에서 우리는 그것들을 받아들일 것이다.

1. 가언 삼단논법

가언 삼단논법은 두 개의 조건문 전제들과 하나의 조건문 결론을 가진다. 다음의 논증은 가언 삼단논법의 한 예이다.

만약 인플레이션이 통제될 수 있다면, 사업체들은 확장될 것이다.

만약 사업체들이 확장된다면, 실업자가 줄 것이다.

---------------------------------------------------------------

만약 인플레이션이 통제될 수 있다면, 실업자가 줄 것이다.

6장에서 논의된 조건 논증에서처럼, 가언 삼단논법의 조건 문장들은 실질 조건문(material conditional)으로서 다루어진다. 연결사 "만약...이라면"은 전건이 참이고, 후건이 거짓인 경우에만 거짓인 복합 문장을 산출한다. 우리는 "p", "q", "r"을 전제들과 결론 속에 포함된 전건이나 후건을 나타내는 것으로, 그리고 동일한 단순 문장에 동일한 문자를 사용하는 것에 의해, 이러한 논증 형식을 표현할 수 있다 :

만약 p 이면, q이다.

만약 q 이면, r이다.

-----------------------

만약 p 이면, r이다.

이러한 논증 형식이 부당하기 위해서는, 두 개의 전제들이 참이면서, 결론이 거짓이라는 것이 가능해야 한다. 그러나 결론이 거짓일 수 있는 유일한 방식은 p가 참이고 r이 거짓일 경우이기 때문에, 이것은 불가능하다. p가 참이라면, 첫 번째 전제가 참이기 위해 q는 또한 참이어야 한다. 두 번째 전제가 참인 전건 q를 가진다면, 그것의 후건 r은 참임에 틀림없다. 그렇지 않다면, 그 전제는 참이 아닐 것이다.

달리 말해서, p가 참이라면, 이 논증 형식이 부당하기 위해 "r"로 표현되는 문장이 결론에서 "거짓"으로 분류되어야 하고 두 번째 전제에서 "참"으로 분류되어야 할 것이다. 그러나 어떤 문장도 동시에 참이면서 거짓일 수 없다. 그래서 이 논증 형식은 타당하다. 조금 전에 제시한 일상어 논증은 이러한 타당한 형식의 한 사례이고, 따라서 그것은 타당한 논증이다. 타당성의 증명을 제공할 때, 우리는 이러한 일반적인 절차를 따를 것이다: 전제들이 참이고 결론이 거짓이 되도록 요소 문장들에 참과 거짓을 할당하려는 시도가 어떤 요소 문장에 모순되는 진리값을 할당하도록 이끈다는 것을 보여준다.

2. 딜레마(Dilemmas, 양도논법)

일상어에서 딜레마는 받아들일 수 없는 두 개의 대안 사이에서 어떤 것을 선택해야 하는 상황을 언급하기 위해 종종 사용된다 ("형래는 딜레마에 빠졌다: 그는 주말의 파티를 포기하던가, 다음 주 중간 시험에 실패하던가이다"). "양도논법"이라고도 불리는 용어 "딜레마"의 원래 의미는 두 대안 사이의 선택을 진술하는 전제를 가지는 논증 형식을 의미한다. 딜레마에 빠져 있는 형래와 같은 어떤 사람은 다음과 같은 종류의 논증에 종종 직면하기 때문에, 그 두 개의 의미는 서로 관련되어 있다.

만약 내가 주말의 파티에 간다면, 나는 중간 시험에 실패할 것이다.

만약 내가 주말에 공부한다면, 나는 즐거운 시간을 보낼 어떤 기회를 놓칠 것이다.

나는 이번 주말에 파티에 참석하거나, 공부할 것이다.

---------------------------------------------------------------------------------

나는 중간 시험에 실패하던가, 또는 즐거운 시간을 보낼 어떤 기회를 놓칠 것이다.

이 논증은 타당하다. (어떤 논증이 타당하기 위해, 전제들이 반드시 참일 필요는 없다는 것을 기억해라. 만약 그 논증이 참인 전제들과 거짓인 결론을 가지는 것이 불가능하다면, 그 논증은 타당하다.)

당신은 아마도 이 논증이 "전건긍정법" 형식을 가지는 논증과 유사하지만, 다소 더 복잡하다는 것에 주목할 수 있을 것이다. 구성적 딜레마라 불리는 이러한 딜레마 형식에는 두 개의 조건문 전제들이 있다. 세 번째 전제는 그 전건들 중 하나나 다른 하나가 참이라는 것을 말하고 있고, 결론은 그 후건들 중 하나나 다른 하나가 참이라는 것을 말하고 있다. 단순 문장을 표현하는 문자들을 사용하여, 이러한 논증 형식은 다음과 같이 기호화될 수 있다:

만약 p 이면, q.

만약 r 이면, s.

p 또는 r.

-------------------

q 또는 s.

이러한 논증 형식이 타당하다는 것을 보여주기 전에, 문장 연결사 '또는'의 진리함수적 의미를 고려해볼 필요가 있다. "또는"에 의해 연결되는 복합 문장은 선언 문장이라고 불려진다. 어떤 선언 문장들은 배타적인 의미를 가지는 데, 그 경우 "또는"은 "둘 중의 하나, 그러나 둘 다는 아닌"을 의미하는 것으로 이해된다. 어떤 식당의 메뉴 판에 "수프 또는 샐러드가 음식 가격 속에 포함되어 있음"이라고 적혀있다면, 우리는 그 선언 문장을 배타적인 것으로 이해한다. 만약 당신이 수프와 샐러드 모두를 원한다면, 당신은 가외의 돈을 지불해야 한다.

어떤 다른 선언 문장들은 포괄적 의미를 가진다. 이러한 문장들에서, "또는"은 "둘 중의 하나, 또는 둘 다도 가능한"을 의미한다. 어떤 도로 표지가 "이 다리는 자동차 또는 트럭의 통행을 허용한다"라고 말한다면, 우리는 그 선언 문장을 포괄적인 것으로 이해한다. 따라서 일상어의 "또는"은 애매하다; 그것은 두 개의 다른 의미를 가진다. 라틴어와 같은 어떤 언어들은 "또는"의 그 두 의미에 대해 다른 두 단어가 사용된다.

논증 형식을 분석하는 목적을 위해서는, 그 문장 연결사의 하나의 의미만을 받아들임으로써 그것의 애매성을 제거하는 것이 바람직하다. 논리학자들은 "또는"의 포괄적 의미를 선택했다. 포괄적 "또는"의 진리함수적 의미는 다음의 표에서 주어진다. 여기서 "p"와 "q"는 어떤 두 개의 문장들을 나타낸다:

p q p 또는 q

참 참 참

참 거짓 참

거짓 참 참

거짓 거짓 거짓

이 표는 그 선언 문장의 구성 요소(선언지)들의 하나 또는 둘 다가 참일 때 그 선언 문장이 참이고, 그 두 개의 선언지 모두가 거짓일 때 거짓이라고 말하는 것에 의해 요약될 수 있다.

이제 구성적 딜레마 논증 형식이 타당하다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 "만약 ...이면"과 "또는"의 이러한 진리함수적 의미가 채택될 때, 모든 전제들이 참이라면, 결론도 역시 참임에 틀림없기 때문이다. 선언 문장 전제("p 또는 r")가 참이기 위해, 최소한 그 선언지 중 하나가 참이어야 한다. 그때, 전건으로서 그 참인 선언지를 가지는 조건 문장 전제는, 참이기 위해, 참인 후건을 가져야 한다. 바로 이것은 전제들의 모두가 참이라면, "q또는 s"(결론)가 참이라는 것을 의미한다. 형래의 딜레마를 표현하는 일상 언어 논증은, 그것이 타당한 논증 형식의 한 사례이기 때문에, 타당하다.

파괴적 딜레마(destructive dilemma)라 불리는 딜레마의 다른 형식은 후건부정법(modus tollens)과 밀접히 관련되어 있다. 파괴적 딜레마의 한 사례인 일상어 논증의 예는 다음과 같다:

만약 그 신문기자가 그의 일을 하고 있었다면, 그는 그 정치 모임에 참석했을 것이다.

만약 그 신문기자가 총명하다면, 그는 그 곳에서 발생한 사건을 알 수 있었을 것이다.

그 신문기자는 그 모임에 참석하지 않았거나, 또는 그곳에서 발생한 사건을 몰랐다.

--------------------------------------------------------------------------------

그 신문기자는 그의 일을 하고 있지 않았거나, 또는 총명하지 않다.

이 논증 형식은 아래와 같이 표현된다:

만약 p이면, q.

만약 r이면, s.

q가 아니거나 또는 s가 아니다.

--------------------------------

p가 아니거나, 또는 r이 아니다.

이 논증 형식은 타당하다. (앞에서 제시된 구성적 딜레마의 분석과 유사한 방식으로 이 형식을 분석한다면, 이 논증 형식이 타당하다는 것을 확신할 수 있을 것이다.)

딜레마 논증 형식의 몇 가지 변형들이 있다. 조건 문장들 중 하나의 전건이 다른 조건 문장의 전건의 부정이고, 선언 문장 전제는 "p 또는 p가 아니다"의 형식을 가진다. 이것이 성립할 때, 그 선언 문장 전제는 명백히 참이기 때문에 종종 진술되지 않는다. 많은 경우에 결론 또한 진술되지 않는다.

James Boswell은, 그의 Journal에서, Paoli가 결혼해야 할지 말아야 할지 결정하고자 했을 때, 그가 제시한 그러한 한 논증을 기술하고 있다:

만약 그가 결혼한다면, 그는 사적인 일 때문에 마음이 산란하게 되고, 가족에 대한 관심으로 마음이 동요될 수 있다는 위험이 있다. 그가 결혼하지 않는다면, 그는 아내와 이이들의 다정다감한 애정을 받을 수 없으며, 그의 야망에 모든 것을 희생하게 될 것이다.

당신은 "p 또는 p가 아니다" 형식의 적절한 전제와 결론을 보충함으로써 Paoli의 딜레마를 완전하게 만들 수 있는가?

구성적 딜레마의 다른 변형 형식에서는, 두 조건 문장들이 동일한 후건을 가진다:

만약 내가 장학금을 받는다면, 나는 학비 걱정을 할 필요가 없다.

만약 내가 파트-타임 일을 한다면, 나는 학비 걱정을 할 필요가 없다.

나는 장학금을 받거나 또는 파트-타임 일을 한다.

------------------------------------------------------------------

나는 학비 걱정을 할 필요가 없다.

이 타당한 논증은 딜레마의 다른 특성을 보여준다. 딜레마는 선언 문장 전제에서 반드시 즐겁지 않은 대안들만을 제시할 필요는 없다. 우리는 두 개의 즐거운 대안에 직면하는 "행복한 딜레마"에 빠질 수 있다.

3. 거짓 딜레마

우리가 두 개의 선택에 직면할 때, 그것의 각각의 귀결들을 살펴보고 딜레마의 한 형식을 사용하여 추론한다. 우리가 이렇게 할 때, 두 선택 이외에 다른 어떤 대안도 가능하지 않다고 생각하는 잘못을 저지르지 않도록 주의해야 한다. 예를 들면, 젊은 여성이 두 사람의 결혼 신청을 받았다고 가정하자. 구혼자 A는 매우 매력적이지만, 게으르고, 가난하다; 구혼자 B는 무디지만 부자다. 그 여성은 다음과 같은 논증을 구성할지 모른다.

만약 내가 A와 결혼한다면, 나는 가난할 것이다.

만약 내가 B와 결혼한다면, 나는 따분할 것이다.

나는 A와 결혼하거나, B와 결혼할 것이다.

그러므로, 나는 가난하거나 따분할 것이다.

그러나 그녀가 이러한 방식으로 추론한다면, 그녀는 거짓 딜레마를 구성한 것이다. 그녀는 어떤 구혼자와도 결혼하지 않는다는 것을 선택할 수 있다! 그녀는 또한 게으르지만 매력적인 구혼자에게 그가 열심히 일한다고 결심할 때, 그의 제안을 고려해 볼 것이라고 말하거나, 또는 부유한 구혼자에게 그의 시야를 넓히라고 설득할 수 있다.

4. 선언 삼단논법

선언 삼단논법에서, 전제들의 하나는 선언 문장이고 다른 전제는 그 선언지들 중 하나의 부정을 진술한다. 결론은 다른 선언지의 참을 긍정한다.

그 홈팀은 그 패넌트에서 승리하거나, 또는 팬들은 불만스러워 할 것이다.

그 홈팀은 그 패넌트에서 승리하지 못할 것이다.

-----------------------------------------------------------------------

팬들은 불만스러워 할 것이다.

이 논증은 다음의 타당한 형식의 한 사례이다:

p 또는 q.

p가 아니다.

-------------

만약 첫 번째 전제가 참이라면, 그 선언지들("p", "q") 중 최소한 하나는 참임에 틀림없다. 두 번째 전제는 그러한 선언지들 중의 하나("p")가 거짓이라고 말한다. 결론은 다른 선언지("q")가 참이라고 말하는 데, 이것은 두 전제가 참이라면 반드시 그렇다.

선언적 삼단 논법의 한 변형 형식은

p 또는 q.

q가 아니다.

------------

이다. 이 형식에서 두 번째 선언지가 두 번째 전제에서 부정되고 있고, 결론은 첫 번째 선언지의 참을 주장한다.

우리는 "또는"을 포괄적 의미에서 해석하기 때문에, 다음과 같은 선언 삼단논법과 유사한 논증 형식은 타당하지 않다:

p 또는 q.

------------

q가 아니다.

"p 또는 q"는 선언지들 중의 하나가 참일 때뿐만 아니라, 두 선언지가 모두 참일 때도 참이기 때문에, 두 번째 전제에서 하나의 선언지의 참을 주장하는 것이 다른 선언지의 참을 배제하게 되는 것은 아니다. 그러나 이 논증 형식에서 결론은 다른 선언지가 거짓이라고 말하고 있다.

그러나, 다음과 같은 일상어 논증은 타당하다:

수미는 그 시험에 실패했거나, 또는 통과하였다.

수미는 그 시험에 실패했다.

----------------------------------------------

수미는 그 시험에 통과하지 못했다.

수미가 동일한 시험에 실패하면서 동시에 통과하는 것은 불가능하기 때문에, 이 논증에서 "또는"은 분명히 배타적으로 이해된다. 그러나 우리는 포괄적인 의미에서만 "또는"을 사용하기 때문에, 배타적인 "또는"의 의미를 표현하는 다른 방식을 발견하지 못한다면, 이 논증의 타당성을 증명하는 형식을 표현할 수 없다. 새로운 연결사를 도입함으로써 이것을 할 수 있다(이 연결사를 "eor"이라고 부르자).

p q p eor q

참 참 거짓

참 거짓 참

거짓 참 참

거짓 거짓 거짓

이 표는 배타적 선언 문장은 그것의 선언지 중의 하나가 참이고 다른 하나가 거짓일 때만 참이다라고 말하는 것에 의해 요약될 수 있다.

그러나 배타적 의미의 "또는"을 표현하기 위해, 다음과 같은 방식으로 "또는", "그리고", "아니다"를 사용하는 것이 가능하다:

p 또는 q, 그리고 p, q 둘 다는 아니다.

앞의 일상어 논증이 한 사례인 타당한 논증 형식은:

p 또는 q, 그리고 p, q 둘 다는 아니다.

----------------------------------------

q가 아니다.

이다. ("그리고"는 또 다른 중요한 진리함수적 연결사이다. 이것의 의미는 다음 절에서 논의될 것이다.)

거짓 딜레마의 설명에서, 이 논증 형식을 가지고 추론할 때 더 많은 대안이 가능함에도 불구하고, 단지 두 개의 대안만을 제시함으로써 선택을 단순화시키는 선언 문장 전제를 고안하지 않도록 주의해야 한다고 말했다. 동일한 주의가 선언 삼단논법에도 적용된다. 예를 들면, 당신이 차를 구입하기를 원한다고 가정하자. 그 주인은 현금으로 1000달러를 원하지만, 당신은 단지 500달러밖에 없다. 당신은 다음과 같이 논증할 수 있을 것이다:

나는 1000달러를 마련하거나 또는 그 차를 살 수 없다. 나는 1000달러를 마련할 수 없다. 그러므로 나는 그 차를 살 수 없다.

이 논증은 형식적으로 타당하지만, 첫 번째 전제는 모든 가능한 선택들을 표현하지 않은 것 같다. 아마 당신은 500달러를 지금 지급하고 나머지는 나중에 지급할 수 있도록 그 주인을 설득할 수 있을지 모른다. 그 주인은 빨리 팔기 위해 가격을 내려 줄지도 모른다. 다른 중간 대안이 가능할 때, 단지 두 개의 극단적인 선택만이 가능하다고 생각하는 실수는 가끔 "흑백 사고의 오류"라고 불려진다.

연습문제

이 절에서 논의된 논증 형식들 중 어떤 것이 다음의 일상어 논증에 가장 잘 맞는가?

1. 순주는 형래가 자신에게 말을 걸었다는 것을 알았다면, 그와 사랑에 빠졌을 것이다. 그녀가 형래와 사랑에 빠졌다면, 정희는 낙담했을 것이다. 그래서, 순주는 형래가 자신에게 말을 걸었다는 것을 알았다면, 정희는 낙담했을 것이다.

2. 주식 가치가 오른다면, 채권 가격은 내린다. 이자율이 오른다면, 채권 가격은 내린다. 그러므로, 주식 가치 또는 이자율이 오를 것이기 때문에, 채권 가격은 내릴 것이다.

3. 수미는 국립 대학과 사립 대학에서 배구 장학금 제안을 받았다. 그녀는 그것들의 하나를 받아들일 것이다. 그러나 분명히 그녀는 사립 대학의 제안을 받아들이지 않을 것이다. 그러므로 그녀는 국립 대학에 갈 것이다.

4. 논리학 과목에 통과하기 위해, 당신은 연습문제를 풀어야 한다. 학위를 받기 위해서, 당신은 논리학 과목을 통과해야 한다. 그래서 당신이 학위를 받으려 한다면, 당신은 논리 연습문제를 풀어야 한다.

5. 그 팀이 다음 주에 승리한다면, 그들은 보울 게임에 나갈 것이다. 그 팀이 다음 주에 비긴다면, 그들은 경기 연맹 배에 승리할 것이다. 그러나 그들은 다음 주에 이기거나 또는 비길 것이다. 그래서 그들은 보올 게임에 나가던가 또는 경기 연맹 배에 승리할 것이다.

6. 당신은 학교 도서관 기금을 위한 복권을 사던가 또는 당신은 도서관에 대해 어떤 관심도 가지지 않을 것이다. 그러나 당신은 도서관에 대해 관심이 있다. 그래서 당신은 복권을 살 것이다.

7. 당신이 복권에 당첨된다면, 상으로 좋은 책을 받을 것이다; 당신이 복권에 당첨되지 않는다면, 당신은 학교 도서관 기금을 지원한 셈이다. 그래서 어떤 식으로든, 당신은 복권 때문에 좋은 어떤 일이 있다.

8. 만약 내가 그 시험 대비 벼락 공부를 하기 위해 늦게 잔다면, 나는 지쳐서 그 시험을 잘 칠 수 없을 것이다. 만약 내가 벼락 공부하지 않는다면, 나는 그 교재를 읽지 않아서 잘 칠 수 없을 것이다. 그래서 나는 그 시험을 잘 칠 수 없을 것 같다.

9. 만약 내가 학기 중에 꾸준히 공부한다면, 기말 시험 때문에 벼락 공부를 할 필요가 없을 것이다. 내가 기말 시험 때문에 벼락 공부를 할 필요가 없다면, 나는 그 시험을 잘 볼 수 있을 것이다. 그래서 내가 학기 중에 꾸준히 공부한다면, 나는 기말 시험을 잘 볼 것이다.

10. 외계인이 미국에 착륙했거나, 외계인을 보았다고 말하는 사람들은 거짓말쟁이다. 그러나 그 사람들은 거짓말쟁이가 아니다. 그래서 외계인은 미국에 착륙했음에 틀림없다.

Ⅱ 연결사를 기호화하기

우리는 타당성을 논리적 형식의 문제로 다루고 있기 때문에, 진리함수적 연결사를 표현하는 기호를 도입한다면, 형식적 분석 작업은 더 쉬워질 것이다. 이것에 의해 논증 형식을 표기하는 것이 단순하게 되고, "만약...면", "또는"과 같은 표현의 진리함수적 의미가 일상어에서의 의미보다 더 제한되어 있다는 것을 상기시키는 데 도움이 될 것이다. 한국어 표현 "만약...면"은 다양한 의미를 가지지만, 우리는 그것을 실질 조건문 연결사로서 해석할 것이다. 유사하게 "또는"을 "약한" 또는 포괄적인 의미로 이해할 것이다.

다음과 같은 진리함수적 연결사에 첨가하여:

1. Arrow(→) : 연결사 "만약...이면"은 두 문장 사이의 "→"에 의해 표현될 것이다.

2. Tilde(∼) : 연결사 "아니다"는 부정되는 문장 앞의 "∼"에 의해 표현될 것이다.

3. Wedge(∨) : 연결사 "또는"은 두 문장 사이의 "∨"에 의해 표현될 것이다.

우리는 또한 두 문장 사이의 "·"(중간점)에 의해 표현되는 진리함수적 연결사 "그리고"를 사용할 것이다.

일상어에서, "존은 영화를 보러 갔고 매리는 라켓볼을 쳤다"와 같은 두 연언지를 가진 연언 문장은 단지 두 연언지가 참일 때만 참이다. 그렇지 않다면 그것은 거짓이다. 이것은 연언 문장의 논리적으로 중요한 특성이고, 다음과 같은 표에서 보여지는 "그리고"의 진리함수적 의미 전체를 표현한다. (기호 [·]은 "그리고" 대신에 사용되고, "참"은 "T"에 의해 표현되고, "거짓"은 "F"에 의해 표현된다.)

p q p·q

T T T

T F F

F T F

F F F

일상어에서, "그리고" 이외의 다른 단어를 가지고 또한 연언 문장을 만들 수 있다. 다른 연언 연결사는 "또한", "그러나", "더군다나", "게다가", "반면에"이다. 때때로 우리는 문장을 연결하기 위해 세미콜론(;) 을 사용한다. 연언 문장들은 다양한 내포를 가진다. 예를 들면, "그러나"는 연결되는 두 문장 사이의 대조를 함축한다("순주는 그 선거에 이겼다 그러나 형래는 졌다"). "그리고"는 때때로 "그리고 나서"의 의미로 시간적 연속의 내포를 가지고 사용된다(봉주는 마라톤 경기를 완주했다 그리고 그 날 저녁에 춤추러 갔다"). 그러나 다른 연결사처럼, 논리학자들은 연언 연결사가 논증의 타당성에 영향을 주는 논리적 의미에 집중하면서, 이러한 미묘한 점을 무시한다. 진리표라 불리는 앞의 표는 중간점을 포함하는 문장 형식이 참이거나 거짓인 조건을 진술함으로써, 그 중간점 기호에 모호하지 않은 의미를 할당하고 있다.

"그리고"(중간점)의 진리표 이외에, 다음과 같은 세 개의 진리표는 지금까지 도입된 다른 진리함수적 연결사를 완전히 정의한다.

p ∼p p q p → q p q p ∨ q

T F T T T T T T

F T T F F T F T

F T T F T T

F F T F F F

부정(∼)은 두 문장을 연결하지 않기 때문에, 그것을 연결사로 여기는 것은 다소 특이하다. 그러나 대부분의 점에서 부정은 다른 연결사들과 유사하다. 부정은 "단항" 연결사라 불려진다; 다른 것들은 "이항" 연결사들이다. 모든 부정 문장은 다른 문장(부정된 문장)을 포함하고 있어서, 부정 문장은 "복합 문장"의 정의에 잘 맞는다.

또 다른 하나의 진리함수적 연결사(실질 쌍조건문)를 정의하는 것이 편리할 것이다. 일상어에서, 이 연결사의 의미와 가장 가까운 표현은 "경우 그리고 오직 그 경우에만 if and only if"이다. 문장 "지붕이 샐 경우 그리고 오직 그 경우에만 비가 온다"는 분명히 지붕이 샌다면 비가 오고, 비가 온다면 지붕이 샌다는 것을 의미한다. 그래서, 실질 쌍조건문은 두 개의 실질 조건문의 연언과 동치이다. 여기서 그 두 개의 조건문 각각의 전건은 다른 것의 후건이고 반대도 역시 성립한다. 그렇기 때문에, 화살(arrow)과 중간점(dot)만을 사용하여 이러한 관계:"(p → q)·(q → p)"를 표현할 수 있다. 왼쪽 연언지는 "p 이면 q"를 표현하고, 오른쪽 연언지는 "오직 p인 경우에만 q"를 표현한다. 그러나 실질 쌍조건문에 의해 표현된 관계는 논증들에 흔하기 때문에 그것을 나타내기 위해 특별한 기호(이중 화살)를 사용할 필요가 있다. 실질 쌍조건문의 진리표는 다음과 같다 :

p q p ↔ q

T T T

T F F

F T F

F F T

실질 쌍조건문은 두 요소들이 모두 참일 때, 그리고 두 요소들이 모두 거짓일 때 참이다; 그렇지 않다면, 실질 쌍조건문은 거짓이다.

Ⅲ 일상어를 기호화하기

타당성이 문장 사이의 진리함수적 연결사에 의존하는 일상어 논증을 분석하기 위해, 단순 문장을 가리키는 문자들("p", "q", "r", "s" 등등)과 진리함수적 연결사를 가리키는 연결사 기호("→", "·", "∨", "↔", 그리고 "∼")를 사용하여 그 논증을 기호화할 것이다. 논증들을 기호화한 결과, 나타나는 표현들이 논증 형식들이다.

문장 형식들은 문장들을 표현하는 문자들과 연결사들을 표현하는 기호들로 구성된 기호 표현들이다. 문장 형식과 일상어 문장 사이의 관계는 논증 형식과 일상어 논증들 사이의 관계와 유사하다.

세 개 이상의 단순 문장들을 포함하는 일상어 문장들을 기호화하기 전에, 우리의 기호 체계의 마지막 특징인 구두점 표현이 도입된다. 구두점은 이러한 문장들에서 애매함을 피하기 위해 필요하다. 일상어에서 다양한 구두점 표현(콤마, 대시, 세미콜론)은 애매함을 피하는 데 도움이 된다. 우리의 논리 기호 체계는 단지 구두점의 한 형식-괄호-만 가진다. 여기서의 괄호 사용은 산수나 대수학에서 사용되는 것과 유사하다.

예를 들면, 표현

7 + 5 × 3

은, 7이 5에 더해지고 나서 그 수에 3이 곱해진 값인지, 혹은 7이 5와 3의 곱에 더해진 값인지 애매하다. 그 표현이 다음과 같이 쓰여졌을 때,

(1) 7 + (5 × 3)

그 값은 분명히 22이다. 그 표현이 다음과 같이 쓰여졌을 때,

(2) (7 + 5) × 3

그 값은 36이다. 괄호는 우리에게 어떤 표현들이 함께 속하는지, 어떤 산수 연산을 먼저 해야하는지 우리에게 말해준다. 한 표현에 대한 산수 값을 결정하기 위해, 우리는 괄호 안에 있는 연산을 먼저 하고, 마지막에 주 연결사가 가리키는 연산을 나중에 한다. 괄호는 표현 (1)에 있는 덧셈 기호와 표현 (2)에 있는 곱셈 기호가 주 연결사라는 것을 나타내기 위해 사용된다. 유사한 방식으로, 괄호는 제시된 문장형식의 주 연결사를 알려줌으로써, 조건 문장 형식인지, 선언 문장 형식인지, 연언 문장 형식인지, 쌍조건 문장 형식인지 혹은 부정 문장 형식인지를 말해준다.

다음과 같은 예들은 괄호가 일상 문장을 형식 문장으로 번역할 때 어떻게 사용되는지를 보여준다.

1. 형래는 그 경주에 이겼고 상금이 크거나, 혹은 그의 후원자들이 즐겁지 않을 것이다.

p : 형래는 그 경주에서 이겼다.

q : 그 상금은 크다.

r : 그의 후원자들은 즐거울 것이다.

(1) (p·q) ∨ ∼r

콤마는 우리가 그 문장을 다음과 같은 방식으로 이해하지 않게 한다:

(2) p·(q ∨ ∼r) (잘못된 번역)

산수 예에서처럼, 괄호 위치의 차이는 복합 문장에 할당되는 진리값에 차이를 만들 수 있다. "p"가 거짓, "q"가 참, "r"이 거짓이라고 가정해보자. 그때 "∼r"은 참이다. (1)은 하나의 참인 선언지를 포함하는 선언 문장(그것의 주 연결사는 "∨"이다)이기 때문에, (1)은 참이다. 그러나 (2)는 연언 문장(그것의 주 연결사는 "·"이다)이고 첫 번째 연언지("p")가 거짓이다. 그러므로, 문장 문자에 대해 동일한 진리값 할당이 주어졌을 때, (2)는 거짓이다.

2. 비도 진눈깨비도 그 우체부의 우편 배달을 방해할 수 없지만, 이 눈보라에서는 단지 슈퍼맨만이 우편을 배달할 수 있다.

p : 비가 그 우체부의 우편 배달을 방해할 수 있다.

q : 진눈깨비가 그 우체부의 우편 배달을 방해할 수 있다.

r : 이 눈보라에서는 단지 슈퍼맨만이 우편을 배달할 수 있다.

(∼p·∼q)·r

이 문장에서, 콤마는 주 연결사가 뒤에 나온 연언이라는 것을 나타낸다. "비도 진눈깨비도 그 우체부의 우편 배달을 방해할 수 없다"는 다음의 문장과 같은 의미를 가진다.

(1) "비가 그 우체부의 우편 배달을 방해 할 수 없고 진눈깨비가 그 우체부의 우편 배달을 방해할 수 없다," 혹은 기호로,

∼p·∼q

또 다음과 같이도 표현될 수 있다.

(2) "비가 그 우체부의 우편 배달을 방해할 수 있거나 또는 진눈깨비가 그 우체부의 우편 배달을 방해 할 수 있다는 것은 사실이 아니다," 혹은 기호로,

∼(p ∨ q)

다음과 같은 진리 표를 검토한다면, 표현 (1)과 표현 (2)가 동치라는 것을 알 수 있다:

(1) (2)

p q ∼p ∼q ∼p·∼q (p ∨ q) ∼(p ∨ q)

T T F F F T F

T F F T F T F

F T T F F T F

F F T T T F T

모든 표준 진리표처럼, 이 진리표에서 첫 두 열들은 관련된 문장 문자들의 모든 가능한 진리값의 조합을 표현한다. 이 경우에 두 개의 문장 문자("p"와 "q")가 있다. 3번째, 4번째 열은 각각 "p"의 부정과 "q"의 부정의 진리값들을 보여준다. 5번째 열은 "∼p"와 "∼q"의 연언 문장의 진리값을 보여준다. 6번째 열은 각각의 문장 문자의 진리값들이 결합했을 때, "p ∨ q"의 진리값들을 보여준다. 7번째 열은 "∼(p ∨ q)"의 진리값들을 보여준다. 이 열의 값들은 바로 앞의 열 값들의 반대이다("∼"은 참인 문장을 거짓인 문장으로 바꾸고, 거짓인 문장을 참인 문장으로 바꾼다.) 그래서, 이 표는 문장 문자 "p"와 "q"에 어떠한 값이 할당되든 상관없이, 표현 (1)과 표현 (2)는 항상 동일한 진리값을 가진다는 것을 보여준다. 이러한 관계가 두 문장 형식 사이에 성립할 때, 그 형식들은 논리적으로 동치라고 불려진다.

표현 (1)과 (2)의 논리적 동치는 드 모르강의 법칙의 한 예이다. 논리학자, Augustus De Morgang(1806-1871)은 논리학의 어떤 측면들과 일반 대수학 사이의 중요한 유사성을 지적했다. 그의 이름이 붙여진 법칙들은 일상어로 다음과 같이 진술된다:

1. 연언 문장의 부정은 연언지의 부정들의 선언과 논리적으로 동치이다.

2. 선언 문장의 부정은 선언지의 부정들의 연언과 논리적으로 동치이다.

3. 두 문장의 연언은 그 문장들의 부정들의 선언의 부정과 논리적으로 동치이다.

4. 두 문장의 선언은 그 문장들의 부정들의 연언의 부정과 논리적으로 동치이다.

기호로, 그 법칙들은 더 간단히 표현된다:

1. "∼(p·q)"는 "∼p∨∼q"와 논리적으로 동치이다.

2. "∼(p∨q)"는 "∼p·∼q"와 논리적으로 동치이다.

3. "p·q"는 "∼(∼p∨∼q)"와 논리적으로 동치이다.

4. "p∨q"는 "∼(∼p·∼q)"와 논리적으로 동치이다.

연습문제

1. 다음의 일상어 문장들을, 제시된 문장 문자와 해석을 사용하여, 그 문장들의 의미를 가장 잘 포착하는 문장 형식으로 번역하라. 필요하면, 괄호를 사용하여 애매함을 피하라.

p : 논리는 쉽다.

q : 논리는 재미있다.

r : 기호들이 사용될 수 있다.

a. 논리는 재미있지만 논리는 쉽지 않다.

b. 기호들이 사용될 수 없다면 논리는 쉽지 않다.

c. 기호들이 사용될 수 있을 경우에만 논리는 재미있다.

d. 논리는 쉽고, 기호들이 사용될 수 있다면 논리는 재미있다.

e. 기호들이 사용될 수 없다면 논리는 재미있지 않다.

f. 기호들은 사용될 수 있거나, 또는 논리가 쉽다는 것은 사실이 아니다.

g. 논리가 재미있을 경우 그리고 오직 그 경우에만 논리는 쉽다.

h. 논리는 쉽지도 재미있지도 않다.

i. 기호가 사용될 수 없다는 것은 참이 아니다.

j. 논리가 쉽지 않을 경우 그리고 오직 그 경우에만 기호는 사용될 수 없다.

k. 논리는 재미있지만 쉽지 않다.

l. 논리는 쉽고, 게다가 그것은 재미있다.

2. "p", "q", "r"의 앞의 해석을 사용하여, 다음의 문장 형식들을 일상 언어 문장으로 번역하여라:

a. p·∼r

b. ∼(p·r)

c. ∼(q∨r)

d. q↔∼r

e. p·(∼r→q)

f. (p∨q)·∼(p·q)

g. r→(p→q)

h. (r·p)→q

i. q·(p↔q)

j. (q→r)·(r→q)

3. 표현 "p↔q"와 "(p→q)·(q→p)"의 논리적 동치를 보여주는 진리표를 구성해라. 이것은 "∼(p∨q)"와 "∼p·∼q"의 논리적 동치를 보여주었던 진리표와 유사하게 4개의 행을 가지는 진리표일 것이다. "p→q"와 "q→p"의 분리된 행을 반드시 포함시켜라.

4. 다음 문장들의 한 쌍들이 논리적 동치인지 그렇지 않은지 보여주기 위해 진리표를 구성하여라.

a. p→q, q→p

b. p→∼q, ∼(p→q)

c. p→q, ∼(p·∼q)

d. p→q, ∼p∨q

Ⅳ. 복합 문장의 진리값을 결정하기

복합 문장이 단순 문장들과 진리함수적 연결사들로부터 형성되고, 단순 문장의 진리값이 알려질 때, 복합 문장의 진리값은 결정될 수 있다. "p"가 참이고, "q"가 참이고, "r"이 거짓이고, "s"가 거짓이라는 것이 알려질 때, 다음 문장 형식들을 살펴보자.

1. "r→(p·q)"는 참이다.

이 문장 형식은 전건으로서 단순 문장과 후건으로서 연언 문장을 가진 조건문이다. 이것의 전건은 거짓이기 때문에, 참인 조건문이다. 거짓인 전건을 가진 모든 조건문이 참이기 때문에, 이 경우에 후건의 진리값을 고려해 볼 필요가 없다.

2. "(p∨r)→(q∨s)"는 참이다.

이 문장 형식은 전건으로서 선언 문장과 후건으로서 다른 선언 문장을 가진 조건문이다. 전건은 참인 선언지("p")를 가지고, 그래서 참이다. 후건 또한 참인 선언지("q")를 가지고, 그래서 참이다. 참인 전건과 참인 후건을 가진 조건문은 참이다.

3. "p·(r∨q)"는 참이다.

이 문장 형식은 연언 문장 형식이다. 이것의 첫 번째 연언지는 참인 단순 문장("p")이다. 다른 연언지는 하나의 참인 선언지("q")를 가진 선언 문장이다. 그래서 이 연언 문장은 참이다. 두 참인 문장들의 연언은 참이다.

4. "(p·r)∨s"는 거짓이다.

이 문장 형식은 선언 문장 형식이다. 이것의 두 번째 선언지는 거짓인 단순 문장이다. 첫 번째 선언지는 하나의 거짓인 연언지("r")를 가진 연언 문장이고, 그래서 거짓이다. 따라서 이 선언 문장은 두 개의 거짓인 선언지들을 가지므로, 거짓이다.

5. "p↔∼q"는 거짓이다.

이 문장 형식은 실질 쌍조건문이다. 이것의 요소 문장들의 하나는 참인 단순 문장("p")이다. 이것의 다른 요소 문장은 참인 문장의 부정이어서, 거짓이다. 따라서, 이 쌍조건문의 두 요소 문장은 다른 진리값을 가지므로 거짓이다.

복합 문장 형식의 진리값을 결정하는 일반적인 방법은 가장 안쪽의 괄호로부터 작업하고, 주 연결사에 의해 연결된 문장들을 제일 마지막에 생각하는 것이다.

연습 문제

"p"는 참, "q"는 거짓, "r"은 참, 그리고 "s"는 거짓이라고 가정하자. 다음의 복합 문장 형식들 각각의 진리값은 무엇인가?

1. p∨q

2. q∨s

3. p·(q∨∼q)

4. (p·q)∨(r·s)

5. (p·r)∨(q·s)

6. p→s

7. p→(s→r)

8. p→(r→s)

9. (p·s)→r

10. ∼(r·s)

11. r→(p→(q∨s))

12. r·(q→p)

13. ∼(r∨s)

14. q↔s

15. (q↔r)→p

Ⅴ. 논증 형식의 타당성 또는 부당성을 결정하기

진리함수적 연결사를 정의하기 위해 사용된 것과 유사한 진리표가 논증 형식의 타당성 혹은 부당성을 증명하기 위해 사용될 수 있다. 타당성이 기본적으로 진리함수적 연결사에 의존하는 모든 타당한 논증은 타당한 진리함수적 논증 형식의 한 사례이기 때문에, 진리표 방식은 일상어로 된 진리함수적 논증들의 타당성에 대한 간접적 테스트를 제공한다. 다음의 논증을 살펴보자:

만약 원시인들이 태평양을 건너지 않았다면, 폴리네시안 유물과 남아메리카 유물 사이에 강한 유사성이 없을 것이다. 그러나 강한 유사성이 있다. 그래서 원시인들은 태평양을 건넜다.

문장 문자 "p"와 "q"가 다음과 같이 해석된다고 가정하자.

p: 원시인들이 태평양을 건넜다.

q: 폴리네시안 유물과 남아메리카 유물 사이에 강한 유사성이 있다.

그때, 이 일상어 논증은 다음의 논증 형식의 한 사례이다:

∼p→∼q

----------------

이 형식(따라서 일상어 논증)의 타당성을 증명하기 위해, 요소 문장 문자들(p, q)의 진리값의 모든 가능한 결합을 보여주는 4개의 행을 가진 진리표를 구성할 필요가 있다:

(1) (2) (3) (4) (5)

p q ∼p ∼q ∼p→∼q

T T F F T

T F F T T

F T T F F

F F T T T

그 문장 문자들의 처음 두 개의 열들 이외에, 그 논증의 전제 문장 형식의 열과 결론 문장 형식의 열이 있을 것이다. 전제 또는 결론 문장의 요소 문장들을 위한 부가적인 열이 있을 수 있다. (이 경우에, "∼p"와 "∼q"의 열을 가진다. 이것은, "∼p→∼q"의 진리값을 결정하기 위해 "∼p"와 "∼q" 열을 먼저 알아 볼 필요가 있기 때문이다.)

논증 형식의 타당성 또는 부당성을 검토하기 위해, 전제 열 (5)와 (2) 그리고 결론 열 (1)을 보자. 전제들이 모두 참인 행을 보자. (첫 번째 행이 두 전제들이 모두 참인 유일한 행이다.)

이제 결론도 참인지 알기 위해, 그 행을 검토하자. 만약 전제들 모두가 참인 모든 경우에 결론도 참이라면, 그 논증 형식은 타당하다. 어떤 행에서 전제 모두가 참이지만, 결론이 거짓이라면, 그때 그 논증 형식은 타당하지 않다. 위의 논증 형식은 타당하다. 전제들 모두가 참인 유일한 행인 첫 번째 행에서, 결론 역시 참이다.

진리표는 전제들과 결론의 진리값의 모든 가능한 결합들을 보여주기 때문에, 진리표 검사는 그 형식의 논증이 참인 전제들과 거짓인 결론을 가지는 것이 가능한지 혹은 그렇지 않는지의 질문에 대답한다. 정의에 의해, 논증은(따라서 그 논증 형식은), 그 논증이 모두 참인 전제들과 거짓인 결론을 가지는 것이 가능하지 않다면, 타당하다. 다음의 예는 진리표 방식에 의해 검사될 수 있는 다른 일상어 논증 예이다.

우리가 뉴욕으로 계속 차를 몰고 간다면, 우리는 회복되기 위해 최소한 이틀을 필요로 할 것이다; 왜냐하면 우리가 뉴욕으로 계속 차를 몰고 간다면, 우리는 24시간 동안 길 위에 있을 것이고, 만약 그것이 발생한다면, 우리는 그 여행의 피로로부터 회복되기 위해 최소한 이틀을 필요로 할 것이기 때문이다.

결론이 먼저 진술된 위 논증은 가언적 삼단 논법의 한 사례이다. 문장 문자 "p", "q", "r"이 다음과 같이 해석된다면,

p : 우리는 뉴욕으로 계속 차를 몰고 간다.

q : 우리는 24시간 동안 길 위에 있을 것이다.

r : 우리는 그 여행의 피곤으로부터 회복되기 위해, 최소한 이틀은 필요할 것이다.

위 논증은 다음 형식의 한 사례이다:

p → q

q → r

-------------

p → r

이 논증은 세 개의 다른 문장 문자를 포함한다. 8행 진리표가 세 개 문자들의 모든 가능한 진리값들의 조합을 보여주기 위해 요구된다. (일반적으로 n개의 다른 문장 문자들이 있을 때, 2ⁿ행들을 가진 표가 필요하다.) 그 진리표는 문장 문자들 "p", "q", "r"을 위한 초기 3개의 열 이외에, 각각의 전제들을 위한 열들과 결론을 위한 열을 포함한다:

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

p q r p→q q→r p→r

T T T T T T

T T F T F F

T F T F T T

T F F F T F

F T T T T T

F T F T F T

F F T T T T

F F F T T T

여기서, (4)열과 (5)열이 전제들의 진리값들을 보여주고, (6)열이 결론의 진리값들을 보여준다. 두 전제들이 모두 참인 행은 첫 번째, 다섯 번째, 일곱 번째, 여덟 번째 행이다. 결론은 이러한 행들에서 또한 참이다. 그러므로, 어떠한 행도 모두 참(T)인 전제들과 거짓(F)인 결론을 가지지 않는다. 이 논증 형식은 타당하고, 이 형식의 사례인 어떠한 일상어 논증도 타당하다.

진리표는 논증 형식의 부당성을 증명하기 위해 사용될 수도 있다. 후건 긍정(affirming the consequent)은 다음과 같은 오류(부당한) 논증 형식이다:

p → q

-------------

이 논증 형식은 다음의 진리표를 가진다:

(1) (2) (3)

p q p→q

T T T

T F F

F T T

F F T

여기서, 전제들은 (2)열과 (3)열에서 주어지고, 결론은 (1)열에서 주어진다. 다른 많은 경우에서처럼 이 진리표에서도, 초기 열들은 "이중의 일"을 한다. 한 문장 문자가 전제이거나 결론일 때, 그것을 어떤 다른 열에서 다시 반복할 필요는 없다. 세 번째 행에서, 두 전제들은 참이지만, 결론은 거짓이다. 이 표는 이런 형식의 논증이 모두 참인 전제들과 거짓인 결론을 가지는 것이 가능하기 때문에, 이 논증 형식이 부당하다는 것을 증명한다.

비록 진리표 방식이 한 논증 형식의 부당성을 결정적으로 증명할 수 있지만, 그러한 증명이 그 형식의 일상어 논증이 부당하다는 것을 보여주지 않는다. 모든 타당한 논증들이 타당한 진리함수적 논증들인 것은 아니기 때문에, 그 일상어 논증은 어떤 다른 타당한 논증 형식의 한 사례일 수 있다. (예를 들면, 어떤 타당한 논증 형식은 문장들 사이의 연결사가 아니라 문장 내의 연결에 의존한다.) 한 논증이 부당하다는 것을 증명하기 위해, 그 논증이 어떠한 타당한 논증 형식의 사례도 아니라는 것을 보여야 한다.

2장에서 논의된 모순에 의한 증명이라 불려지기도 하는, 간접 증명은 진리표 방식에 의해 다루어질 수 있다. 간접 논증에서, 그 논증을 제시하는 사람은 어떤 문장을 거짓이라 가정하고(그 문장의 부정을 전제로서 생각하고), 그 후 이 가정이 어떤 모순(분명히 거짓인 문장이거나 또는 완전히 모순인 문장)으로 귀결된다는 것을 보여주는 것에 의해, 이 문장을 증명하려고 한다. (라틴어로, 이 논증 유형은 귀류법(reductio ad absurdum)으로 불려진다: 그 가정된 전제가 모순으로 이끈다.) 타당한 논증에서 모든 전제들이 참이라면, 결론 역시 참임에 틀림없기 때문에, 분명히 거짓인 결론으로 이끄는 타당한 논증은 최소한 하나의 거짓인 전제를 반드시 포함함에 틀림없다.

2장에서 언급한 것처럼, 일상어에서 간접 논증의 전제로서 사용된 주장은 반대자에 의해 종종 지지되지만, 그 논증을 구성하는 사람에 의해 거부된다. 수학에서 간접 논증은 증명의 강력한 방법이다. 상위 수준의 수학을 배우는 학생들은 이 방법에 자주 마주치고, 그들이 증명하고자 하는 것의 부정을 가정하는 것은 많은 경우 증명을 구성하기 위한 편리한 출발점을 제시한다는 것을 알게된다.

가장 큰 소수가 없다는 것을 보여주기 위해 고안된 다음의 증명을 살펴보자.

가장 큰 소수(K)가 있다고 가정하자. R을 K보다 작거나 같은 모든 소수들을 곱해서 얻어진 수에 1을 더한 수(R=[2·3·5·. . .·K] + 1)라고 하자. R이 K보다 크다는 것은 분명하다. R은 K보다 작거나 같은 소수들 중 어떤 것에 의해 나누어졌을 때도 나머지로 1을 가진다. 게다가 R이 소수가 아니라면, 그때 그 수는 K보다 작거나 같은 어떠한 소수보다도 더 큰 어떤 소수에 의해 나누어진다. 그러므로, K는 가장 큰 소수가 아니다.

이 논증 형식을 표현하기 위해, 다음과 같은 문장 문자를 사용하자:

p : 가장 큰 소수(K)가 있다.

q : K보다 큰 소수(R)가 있다.

이 논증 형식의 결론은 "∼p"이다. 간접 증명법을 사용하기 위해, 결론의 부정("p")을 전제로서 가지고, p라면 그것의 귀결로서 다른 문장 "q"를 가진다는 것이 보여진다. 첨가하여, q는 귀결로서 "p"의 부정을 가진다. 논증 형식은 다음과 같이 표현될 수 있다:

p→q

q→∼p

------------

∼p

다음의 진리표는 이 형식이 타당하다는 것을 보여준다:

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

p q ∼p ∼q p→q q→∼p

T T F F T F

T F F T F T

F T T F T T

F F T T T T

(1), (5), (6)열은 전제 열이고 (4)열은 결론이다. 이 진리표에서 - 우리가 지금까지 살펴본 것과 다르게 - 모든 전제들이 참이 되는 어떠한 행도 없다. 이것이 그 형식을 부당하게 할 것 같아도, 사실 이것은 타당성을 보장한다. 모든 전제들이 참이 되는 어떠한 행도 없다면, 모든 전제들이 참이고, 결론이 거짓이 되는 어떠한 행도 있을 수 없다! 전제들이 서로 모순되기 때문에, 전제들 모두가 참이 되는 어떠한 행도 없다: 최소한 전제들의 하나가 반드시 거짓이다. 이 논증의 목적은 첫 번째 전제(이것은 결론의 부정이다)가 거짓이라는 것을 보여주는 것이기 때문에, 이것에 너무 놀라지 말아야 한다. 전제들 모두가 참인 것이 불가능한 모든 논증은 타당하다. 왜냐하면, 그러한 논증들에서, 전제들이 모두 참이고 결론이 거짓이라는 것이 자동적으로 불가능하기 때문이다.

이 형식의 논증이 하나 이상의 전제들을 가질 때, 그 논증은 어떤 특정 전제가 거짓이라는 것을 말해줄 수는 없고, 단지 최소한 그것들 중 하나가 거짓임에 틀림없다는 것만을 보여줄 수 있다. 앞의 타당한 논증은, 다른 전제들이 문제시될 수 없기 때문에, 그 논증의 결론("가장 큰 소수는 없다")의 참을 보증한다고 말할 수 있다.

연습문제

1. 진리표를 사용하여, 다음 논증 형식의 타당성 또는 부당성을 결정하라.

a. p·q

∼p∨∼q

------------

b. (p∨q)→(p·q)

p·q

------------------

p∨q

c. (p∨q)→(p·q)

∼(p∨q)

-------------------

p·q

d. p→q

∼(q∨r)

------------

∼p

e. p→q

p→∼q

-----------

∼p

f. p→q

∼p→q

---------

g. p→(q→r)

q→(r→s)

-------------

p→s

2. 문장 문자와 연결사 기호를 사용하여, 다음의 논증들을 기호화하고 그 기호화된 논증 형식들이 타당한지 부당한지 결정하기 위해 진리표를 구성해라.

a. 그 게임의 표가 매진되었던가 또는 그 게임이 취소되었다. 만약 그 게임의 표가 매진되었다면, 나는 그것을 볼 수 없을 것이고, 만약 그 게임이 취소되었다면, 나는 그것을 볼 수 없을 것이다. 그래서 나는 그 게임을 볼 수 없을 것이다.

b. 순주는 장학금을 받았거나 또는 학비를 위해 돈을 빌렸을 것이다. 그러나 그는 돈을 빌리지 않았다. 그러므로, 순주는 장학금을 받았다.

c. 만약 6월 2주 동안 비가 오지 않는다면, 그 정원은 메마를 것이다. 그 정원이 메마르게 된다면, 우리는 7월에 토마토를 숙성시킬 수 없을 것이다. 그래서 만약 6월 2주 동안 비가 오지 않는다면, 우리는 7월에 토마토를 숙성시킬 수 없을 것이다.

d. 만약 대중이 야구 같은 스포츠에 매우 관심이 있다면, 그들은 그 게임들을 보기 위해 많은 돈을 지불할 것이다. 대중은 야구 경기를 보기 위해 많은 돈을 지불한다. 그러므로 대중은 야구에 매우 흥미가 있다.

e. 프로 야구 선수는 많은 봉급을 요구할 수 있고, 대중이 그들을 매우 좋아할 때만 그들은 그렇게 할 수 있다. 그래서 대중은 프로 야구 선수를 매우 좋아한다.

f. 내가 새 차를 산다면, (보험료 때문에) 파산할 것이다. 그러나 내가 중고차를 산다면, (그것을 보수하는 비용 때문에) 파산할 것이다. 나는 새 차를 사던가 또는 중고차를 사야 하고, 따라서 파산할 것이다.

3. 다음의 구절은 소포클레스의 연극 안티고네에 있는 구절이다. 안티고네는 폭군 크레온의 명령을 거역하여 그녀의 오빠를 매장하는 것을 허락했고, 사형 선고를 받았다. 그녀의 논증을 진리함수적 논증으로 재구성하고, 적절한 기호를 사용하여 그것을 번역해라:

안티고네 : 이 벌은 고통스럽지 않을 것이다.

내가 나의 어머니의 아들을 그곳에 묻지 않고 방치할 때만, 나는 고통을 참을 수 없을 것이다. 이것을 나는 참을 수 있다.

4. Les Liaisons Dangereuses(C. de Laclos)로부터 발췌된 다음의 논증을 진리함수적 논증으로 재구성하고, 적절한 기호를 사용하여 번역해라:

당신은 경쟁자를 가지던가 또는 가지지 않는다. 만약 당신이 경쟁자를 가진다면, 당신이 선택되기 위해 마음에 들어야 한다 ; 만약 당신이 경쟁자를 가지지 않는다면, 경쟁자를 가질 가능성을 방지하기 위해, 마음에 들어야 한다. 어떤 경우이든, 동일한 원리에 따라야 한다: 그런데 당신은 왜 자신을 괴롭히는가?

5. 진리함수적 연결사와 제시된 문장들의 해석을 사용하여 다음의 논증을 재구성해라:

신에 대한 불경 법이 있는 영국에서, 기독교를 믿지 않는 것을 표현하는 것은 불법이다. 예수가 비-저항의 주제에 대해 가르쳤던 것을 가르치는 것 또한 불법이다. [그러므로] 법을 어기려 하지 않는 사람은 누구나 예수의 가르침에 따라야 한다고 말해야 하지만, 그 가르침이 무엇이었는지 말하지 말아야 한다.

- 버트란트 러셀

p : 당신은 기독교를 믿지 않는 것을 표현한다.

q : 당신은 법을 어긴다.

r : 당신은 예수가 비-저항의 주제에 대해 가르쳤던 것을 가르친다.

6. Nuclear and Public Policy로부터 발췌된 다음의 논증을 보자:

한편으로, 원자력이 안전하여 대 참사가 불가능한 경우 파산으로부터 원자력 산업을 보호하기 위한 유한 책임은 필요 없다. 또는, 다른 한편으로, 원자력이 안전하지 않아 대 참사가 가능한 경우 파산으로부터 원자력 산업을 보호하기 위한 유한 책임이 필요하다. 유한 책임이 필요하다면, 원자력 산업을 반대하는 주장이 성공적일 경우에만, 그러할 것이다. 그러나 상해가 원자력 사고의 결과라는 것이 보여질 수 있을 때에만, 그 주장은 성공적일 수 있다. 그리고 이것이 보여질 수 있다면, 원자력은 안전하지 않다. 따라서 어떠한 사람도 원자력 산업에 유한 책임이 필요하다는 것과 원자력이 안전하다는 것 둘 다를 일관적으로 주장할 수 없다.

- K. S. Shrader-Frechette

a. 다음과 같은 문장 해석을 사용하여, 이 논증 형식을 기호로 번역해라.

p: 원자력은 안전하다.

q: 대 참사는 가능하다.

r: 유한 책임이 파산으로부터 원자력 산업을 보호하기 위해 필요하다.

s: 원자력 산업을 반대하는 주장이 성공적일 수 있다.

t: 상해가 원자력 사고의 결과라는 것이 보여질 수 있다.

b. 이 논증 형식의 진리표에 몇 개의 행들이 있는가?

8. West with the Night로부터 발췌한 다음의 구절로부터, 코끼리들은 비밀 장소에서 죽는다는 결론을 가지는 진리함수적 논증을 구성할 수 있는가? 그 논증의 형식은 무엇인가?

코끼리들이 비밀 장소에서 죽는다는 것과, 그러한 어떠한 비밀 장소도 발견되지 않았다는 전설이 있다. 이것을 지지해주는 것으로, 코끼리가 덫에 걸리거나 총에 맞지 않았다면, 그것의 시체는 거의 발견되지 않는다는 사실이 있다. 늙은 코끼리와 죽은 코끼리는 도대체 어떻게 되는 것일까?

- Beryl Markham

Ⅵ. 동어반복, 자기모순, 그리고 우연적 문장들

어떤 문장들은 단순히 그것들의 진리함수적 구조 때문에 참이 된다는 흥미로운 속성을 가진다. 그러한 문장의 한 예는 "만약 눈이 온다면, 눈이 온다"이다. 이 문장은 "p→p"의 형식의 한 사례이고, 기후가 어떠하든 상관없이 분명히 참이다. 이러한 유형의 문장들은 동어반복이라 불려진다. 문장 형식이 동어반복인지 그렇지 않은지 결정하기 위해 진리표가 사용될 수 있다. 만약 어떤 문장 형식 아래의 열이 단지 T들만을 포함한다면, 그 문장 형식은 동어반복이다. 만약 어떤 문장이 동어반복 문장 형식의 한 사례라면, 그 문장은 동어반복이다.

어떤 동어반복 문장 형식의 진리표는 다음과 같다:

1. p p→p

T T

F T

이 표는 p→p가 동어반복이라는 것을 보여준다. 전건과 후건이 동일한 모든 일상어 조건문은 이러한 동어반복 형식의 한 사례이다.

2. p ∼p p∨∼p

T F T

F T T

두 개의 선언지를 가지고 그것의 하나가 다른 것의 부정인 모든 선언 일상어 문장은 이러한 동어반복 형식의 한 사례이다. 그 예들은 다음과 같다.

a. 눈이 오거나 또는 눈이 오지 않는다.

b. 형래가 순주를 사랑하거나 또는 형래가 순주를 사랑하지 않는다.

3. p q q→p p→(q→p)

T T T T

T F T T

F T F T

F F T T

이러한 동어반복 문장 형식의 어떤 일상어 사례는 "만약 광산에 금이 있다면, 채굴자가 금을 발견한다면 광산에 금이 있다."이다.

동어반복은 논리적으로 참인 문장들의 집합에 포함된다. 그것들의 참은 논리적 형식의 문제일 뿐 세계에 사물들이 어떻게 있는가에 관한 문제가 아니다. "만약 눈이 온다면, 눈이 온다"와 같은 문장은 날씨에 대해, 또는 세계의 다른 어떤 것에 대해 전혀 아무 것도 말하지 않는다. 논리학자의 용어로 "동어반복"의 의미는 어떤 뚜렷한 또는 흥미 없는 주장을 가리키는 그 용어의 일상적 의미와 다르다. 논리적 동어반복의 공허한 혹은 비정보적인 성격 때문에, 그 두 의미는 서로 관련된다. 논리적 동어반복이 세계에 대한 어떠한 정보도 제공하지 않는다는 사실에도 불구하고 논리학자들은 흥미를 가진다. 수학적 참의 본성에 관한 하나의 일반적인 철학적 견해는 그것들이 모두 동어반복이라는 것이지만, 거의 어떠한 사람도 수학의 중요성을 부정하지 않을 것이다.

어떤 문장들이 세계와의 관계 때문이 아니라, 논리적 구조에 의해 참인 것처럼, 어떤 다른 문장들은 그것들의 진리함수적 논리 구조에 의해 거짓이다. 이러한 문장들은 자기모순(self-contradiction)이라 불려진다. 진리표에서 자기모순 문장의 아래에 있는 열은 단지 F들만을 포함할 것이다. 자기모순 문장 형식의 분명한 예는 다음의 진리표를 가진 "p·∼p"이다:

p ∼p p·∼p

T F F

F T F

일상어 문장 "눈이 오고 그리고 눈이 오지 않는다"는 이러한 자기모순 형식의 한 사례이다. 분명히, 한 연언지의 부정을 다른 연언지로 가지는 어떤 연언 문장도 자기모순이다. 그러나, 다음과 같은 더 미묘한 자기모순 문장의 형식들이 있다.

(p→q)·((q→r)·(p·∼r))

진리표를 구성하지 않고, 이것이 자기모순 문장 형식인지 분명하지 않을 수 있다.

문장의 참 또는 거짓이 단지 그것의 논리적 구조뿐만 아니라, 세계가 실제로 어떠한가에 의존한다면, 그 문장은 우연적 문장(contingent sentence)이라 불려진다. 이러한 문장들의 진리값은 실제의 사태에 의존하기 때문에, 그것들은 참이거나 거짓일 수 있다. 동어반복이나 자기모순이 아닌 모든 진리함수적 문장 형식은 우연적이다. 그러한 문장 형식 아래의 진리표 열에는 T와 F 둘 다 포함할 것이다.

다음의 중요한 관계가 논증의 진리함수적 타당성과 문장의 동어반복성 사이에 성립한다:

한 논증에 대응되는 조건문이 동어반복일 경우 그리고 오직 그 경우에만 그 논증은 진리함수적으로 타당하다.

논증에 대응되는 조건문은 다음의 구조적 특성을 가지는 조건문이다.

1. 그 조건문의 전건이 그 논증의 모든 전제들의 연언이다.

2. 그 조건문의 후건은 그 논증의 결론이다.

전건긍정법(modus ponens) 형식에 대응되는 조건문은 다음과 같다:

((p→q)·p)→q

가언적 삼단논법 형식에 대응되는 조건문은 다음과 같다:

((p→q)·(q→r))→(p→r)

연습문제

1. 동어반복 문장을 결론으로 가진 모든 논증이 타당한 이유를 설명해라.

2. 자기모순 문장을 전제로 가진 모든 논증이 타당한 이유를 설명해라.

3. 전제들 모두가 동어반복 문장이고, 결론이 우연적인 문장인 어떠한 타당한 논증도 없는 이유를 설명해라.

4. 다음의 주장은 참인가? "만약 두 개의 문장 형식이 논리적으로 동치라면, 그것들로 구성된 실질 쌍조건문은 동어반복이다." 그 이유를 설명해라.

5. 다음의 논증 형식의 각각에 대응되는 조건문을 적어라:

a. p∨q

---------

∼q

b. p→q

p∨r

r→∼s

---------

6. 다음 문장 형식이 동어반복인지, 자기모순인지, 우연적 문장 형식인지 보여주기 위해 진리표를 구성해라.

a. (p→q)→(q→p)

b. p→∼p

c. ∼p→p

d. q→(p∨∼q)

e. (p→q)→(p→(p·q))

7. 일상어의 단순 문장을 표현하는 문장 문자를 사용하여, 다음의 각각을 그것의 진리함수적 구조를 가장 잘 포착하는 적절한 문장 형식으로 번역해라. 번역된 문장이 진리함수적 동어반복인지, 자기모순인지, 또는 우연적 문장인지 결정하기 위해 진리표를 사용해라.

a. 당신이 노력하지 않는다면, 당신은 이길 수 없다.

b. 비는 부자와 가난한 자 양자 모두에 떨어진다.

c. 당신은 어떤 것을 얻고, 어떤 것을 잃는다.

d. 만약 당신이 정말로 그녀를 사랑한다면, 당신은 그녀에게 그렇게 말하지 않을 것이다.

e. 당신은 나에게 동조하거나 또는 나에게 반대할 것이다.

Ⅶ. 논리와 컴퓨터 : 진리함수적 논리의 적용

믿을 수 없는 속도로 계산을 수행하는 능력은 현대 컴퓨터의 중요한 특성이다. 컴퓨터의 속도는 그것의 전자 구성 요소에 의존한다; 컴퓨터의 계산 능력은 그것의 논리적 설계에 의존한다. 컴퓨터가 놀랄 만한 속도로 작업을 하지만, 그것이 풀고자 하는 문제가 부정, 연언, 선언과 같은 기본적인 논리적 조작에 의해 분석될 수 있을 때만, 컴퓨터는 문제를 해결할 수 있다.

몇 가지 선행적인 설명과 함께, 예로서 다소 원초적인 더하기 기계를 사용하여 컴퓨터의 논리적 설계에서의 진리함수적 논리의 역할을 간단히 논의할 것이다.

1. 수의 표상

숫자는 수를 지시하기 위해 사용하는 기호들이다. 당신은 로마 숫자 기호(Ⅰ, Ⅹ, Ⅴ, L, C, D, M)와, 아랍 숫자 기호(0, 1, 2 등)에 친숙할 것이다. 수를 지시하기 위해 사용될 수 있는 다양한 유형의 기호들과 함께, 많은 다른 숫자들의 체계가 있다. 이러한 숫자들의 체계는 수를 표시하기 위해 사용하는 상이한 숫자 기호들의 개수에 의해 구별된다.

ⅰ. 십진법 체계

우리 모두에게 친숙한 체계는 십진법 체계이다. 이것은 다른 10개의 기호들(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)을 사용한다. 영부터 구까지의 수들은 각각 하나의 숫자에 의해 표현될 수 있다. 구보다 큰 수들은 둘 이상의 숫자에 의해 표현되어야 한다. (100은 1과 같고, 101은 10과 같고, 102은 100과 같다는 것 등을 기억해라.)

십진법 체계에서, 가장 오른 쪽의 숫자는 단위(100)의 수들을 나타낸다. 그것의 왼쪽 편에 있는 위치는 십(101)의 수들을 나타낸다. 그것의 왼쪽 편에 있는 위치는 백(102)의 수들을 나타낸다; 등등.

예를 들어보면 다음과 같다:

67은 6개의 십들과, 7개의 단위들을, 또는

(6 × 101) + (7 × 100)

을 표현한다.

342는 3개의 백들과, 4개의 십들, 2개의 단위들을, 또는

(3 × 102) + (4 × 101) + (2 × 100)

을 표현한다.

1001은 한 개의 천과, 0개의 백과, 0개의 십과, 1개의 단위를, 또는

(1 × 103) + (0 × 102) + (0 ×101) + (1 × 100)

을 표현한다.

십진법은 때때로 베이스가-십인 숫자 체계(base-ten numeral system)라고 불려진다.

ⅱ. 이진법 체계

때때로 베이스가-이인 숫자 체계(base-two numeral system)라고 불려지는, 이진법 체계에서는, 단지 두 개의 단위 기호(0과 1) 만이 있다. 영과 일의 수는 각각 단일한 단위 기호에 의해 표현될 수 있다. 2이상의 수들은 두개 이상의 단위 기호들에 의해 표현되어야 한다. 여기서 가장 오른쪽의 기호는 단위(20; 0제곱된 모든 수는 1과 같다)들의 수를 표현한다. 그것 왼쪽편의 위치는 이(21)들의 수를 표현한다; 그것 왼쪽편의 위치는 사(22)의 수들을 표현한다; 등등. 몇 가지 예를 들어보면 다음과 같다:

1001은 수 9를 표현한다. 왜냐하면, 그것은

(1 × 23) + (0 × 22) + (0 × 01) + (1 × 20).

을 가리키기 때문이다.

111은 수 7을 표현한다. 왜냐하면, 그것은

(1 × 22) + (1 ×21) + (1 × 20).

을 가리키기 때문이다.

이진법은, 십진법에서 동일한 수를 표현하기 위해 필요로 하는 숫자들의 개수들보다 더 많은 개수를 요구하기 때문에, 종이와 연필을 사용하는 인간의 계산에 편리한 것은 아니다. 그러나, 어떠한 수도 각각의 체계에서 표현될 수 있다; 이진법 체계에서 구별되는 오직 2개의 기호만이 있다는 사실은 이 의미에서 어떠한 장애도 아니다. 게다가 어떤 상황에서는, 십진법 체계보다 이진법 체계를 사용하는 것이 더 편리하다. 수에 대한 정보가 전선에서 전기 자극의 연쇄로 전달된다면, 10개의 유형들보다는 (높은 전류와 낮은 전류를 사용하여) 단지 2개의 유형들로 구별하는 것이 더 단순할 것이다. 전기 자극은 매우 빨리 전달 될 수 있고, 종이와 연필을 사용하는 인간이 하는 것처럼 긴 기호들의 나열을 써내려 가야 한다는 단점이 없다.

2. 이진법 덧셈(Binary Addition)

이진법 덧셈은 십진법에서의 덧셈처럼 작동한다. 다음의 덧셈표에서, 줄 위의 수들은(행 p, q는) 더해지는 수들이다; 줄 아래에서, 왼쪽 기호(c)는 올라간 기호(carry digit)이고, 오른쪽 기호(s)는 더해진 기호(sum digit)이다:

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

----- ---- ---- ---- ----

cs 10 01 01 00

이 표를 요약한다면, 첫 번째 열은 1 더하기 1은 2(2진법 표기에서는 10)와 같다는 것을 말한다; 두 번째, 세 번째 열은 0 더하기 1은 1과 같다는 것을 보여준다(여기서는 올라간 기호가 0일 때도 쓰여졌지만, 그것은 생략될 수 있다); 마지막 행은 두 개의 0을 더한 결과를 보여준다. 덧셈에 대한 정보는 진리표와 유사한 형식으로 보여질 수 있다:

p q c s

1 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 0

3. 덧셈기 만들기(Constructing an Adder)

덧셈을 논리적 조작으로서 분석하기 위해, 우리에게 친숙한 진리함수적 연결사의 어떤 것이 c와 s의 열에 표현된 함수들을 포착하기 위해 사용될 수 있는지 살펴보아야 한다.

c열에서, p와 q 둘 다 높은 값(1)을 가질 때, 높은 값을 가진다; 그렇지 않다면, 그 값은 낮다(0). 우리가 1을 T로 읽고, 0을 F로 읽는다면, c에 대한 더하기 표는 논리적 연언(·)의 진리표와 정확히 같다.

s열을 본다면, p와 q가 동일한 값을 가질 때, s는 낮은 값(0)을 가지고, p와 q가 다른 값을 가질 때, s는 높은 값(1)을 가진다는 것을 알 수 있다. 이것은 실질 쌍조건문 연결사에 의해 표현된 것과 정확히 반대되는 상황이다. 그래서 이 s함수를 표현하는 하나의 방식은

∼(p ↔ q)

이다.

이 s 함수를 표현하는 다른 방식은

(p·∼q)∨(∼p·q)

이다.

연습문제

이러한 두 개의 형식이 논리적으로 동치라는 것을 보여주는 진리표를 구성해라.

이제, 물리적으로 연언, 선언, 부정의 논리적 함수들을 실현할 수 있는 전기 스위치를 가진다고 가정하자. 예를 들면:

연언(그림 8-1을 보라) : 두 개의 입력 전선들(p, q)이 있다. 두 전선들이 높은 전류(1)를 가지고 있을 때, 그 스위치로부터 나오는 출력은 높은 전류를 가진다. 하나 또는 두 개의 입력 전선 모두가 낮은 전류(0)를 가질 때, 출력 전선도 낮은 전류를 가진다.

{{

}}

그림 8-1 연언

선언(그림 8-2를 보라): 이 스위치 역시 두 개의 입력 전선들과 하나의 출력 전선을 가진다. 하나의 입력 전선 또는 두 개 모두 높은 전류를 가질 때, 출력 전선은 높은 전류를 가진다. 두 개의 입력 전선 모두가 낮은 전류를 가질 때, 출력 전선은 낮은 전류를 가진다.

∨

그림 8-2 선언

부정(그림 8-3을 보라): 이 스위치는 하나의 입력 전선과 하나의 출력 전선을 가진다. 이것은 입력 전선의 전류를 높은 것에서 낮은 것으로, 낮은 것에서 높은 것으로 바꾼다.

{{

}}

{{

}} {{

}} p

그림 8-3 부정

이러한 유형의 스위치를 사용하여, 단순한 덧셈 기계를 만들 수 있다. 우리는 높은 전류와 낮은 전류에 의해 표현되는 수를 입력 전선 p와 q를 통해 그 기계에 입력하고, 올라간 기호(carry digit) c와 더하기 기호(sum digit) s를 표현하는 출력 전선을 가지기를 원한다.

그림 8-4 덧셈 기계(외적 관점)

그림 8-4는 입력들과 출력들을 관찰 할 수 있지만, 그 기계가 어떻게 작동하는지 알 수 없기 때문에, 그 기계의 소위 "블랙 박스" 표상이라 불려진다.

그 기계의 내적 작동은 그림 8-5에서 표현된다.

그림 8-5 덧셈 기계(내적 관점)

반 덧셈기(half adder)라 불려지는 이 단순 덧셈 기계는 원초적이다. 그것은 어떤 두 개의 단위 숫자들을 더할 수 있지만, 이전의 덧셈으로부터 올라온 숫자(carry digit)를 더할 수 없다. 완전한 덧셈기를 만들기 위해, 세 개의 숫자(p, q, 그리고 전의 덧셈으로부터 올라온 숫자 cin)에 대한 이진법 덧셈을 생각할 필요가 있다. 다음 표는 이진법 덧셈에 필요한 정보를 제공한다:

p q cin cout s

1 1 1 1 1

1 1 0 1 0

1 0 1 1 0

1 0 0 0 1

0 1 1 1 0

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 0 0

이 표에서, cout은 1행, 2행, 3행, 5행에서 높은 값을 가진다(1행에서처럼, 세 개의 모든 입력들 p, q, cin이 높을 때, 또는 어떤 두 입력들이 높고 나머지 하나의 입력이 낮을 때). 2행에서, p와 q가 높고, 3행에서 p와 cin이 높고, 5행에서 q와 cin이 높다. 그래서, 우리는 cout를 p, q, cin의 다음과 같은 함수로 표현할 수 있다:

(p·q·cin)∨(p·q·∼cin)∨(p·∼q·cin)∨(∼p·q·cin)

유사한 추론에 의해 s를 p, q, cin의 함수로서 규정할 수 있다. 높은 값이 1, 4, 6, 7행의 s에 부여된다. 홀수(하나 또는 셋)의 구성 요소들이 높은 값을 가질 때마다, s에 높은 값이 부여된다; 그렇지 않다면 s는 낮다. 그래서 우리는 s를 다음과 같은 함수로 표현할 수 있다:

(p·q·cin)∨(p·∼q·∼cin)∨(∼p·q·∼cin)∨(∼p·∼q·cin)

완전한 덧셈기는 세 개의 입력 전선들과 두 개의 출력 전선들을 가질 것이다. 부정, 연언, 선언의 함수를 실현시키는 세 종류의 스위치를 사용하여, 그 덧셈기는 그림 8-6에서 보여지는 것처럼 구성될 수 있다.

그림 8-6 완전한 덧셈기

컴퓨터 설계의 많은 논리적 문제들은 지금 제시한 이 단순한 문제보다 더 복잡할 수 있지만, 그것과 유사하다.

4. 선언 표준 형식

선언 표준 형식(disjunctive normal form)은 선언지의 각각이 연언 문장인 그러한 선언 문장이다. 게다가, 각각의 연언 문장은 그 문장 형식 안에 나타나는 모든 문장 문자들이 정확히 한번 나타난다; 그 나타남은 부정 문장이거나 또는 부정 문장이 아니다. (위의 cout와 s에 대한 문장 형식은 선언 표준 형식이다.) 어떤 진리함수적 문장 형식에 대해서도, 그것과 논리적으로 동치인 선언 표준 형식이 있다는 것이 증명될 수 있다. 때때로 단지 세 종류의 스위치들(부정, 선언, 연언에 대한 스위치들)만을 사용하여, 컴퓨터를 설계하는 것이 바람직하다. 그 경우, 다른 연결사들을 가지는 문장 형식을 단지 "∼", "·", "∨" 만을 포함하는 문장 형식으로 번역하는 방법을 아는 것이 유용하다. 어떤 문장 형식에 대해서도, 그것과 논리적으로 동치인 선언 표준 형식을 구성하는 하나의 방법을 Lewis Carroll(Symbolic Logic)이 처음으로 제안했다:

1. 그 문장 형식에 대한 진리표를 구성해라.

2. 그 문장 형식의 진리값이 T인 행들을 주목해라.

3. 그 문장 형식이 T의 진리값을 할당받는 각각의 행에 대해, 다음과 같은 연언 문장을 구성해라; 각각의 문장 문자가 정확히 한번 나타나고, 그 행에서 문장 문자가 F를 할당받을 경우 그리고 오직 그 경우에만 그 문장 문자의 부정이 나타난다.

4. (단계 3에 따라서 구성된) 연언 문장들 각각을 선언지로 사용하여 하나의 선언 문장을 구성해라.

5. 이 선언 문장은 선언 표준 형식이고, 원래의 문장 형식과 논리적으로 동치이다.

연습문제

1. 다음 문장 형식의 각각에 대해 논리적으로 동치인 선언 표준 형식을 구성하라:

a. p→q

b. p↔q

c. ∼(p→q)

d. p→∼q

2. 때때로 컴퓨터는 "낸드(nand)" 스위치라 불리고, 스트로크(stroke) "|"에 의해 기호화되는 한 종류의 스위치만을 가지고 디자인된다. 이 스위치는 연언의 부정을 표현한다:

"(p | q)"는 "∼(p·q)"와 논리적으로 동치이다.

문장들 사이의 모든 진리함수적 연결을 표현하기 위해 단지 스트로크 연결사만을 사용하는 것이 가능하다. 몇 가지 예는 다음과 같다:

"∼p"는 "p | p"와 동일한 진리표를 가진다.

"p→q"는 "p | (q | q)"와 동일한 진리표를 가진다.

"p∨q"는 "(p | p) | (q | q)"와 동일한 진리표를 가진다.

단지 스트로크 연결사만을 사용하여, 다음과 논리적으로 동치인 문장 형식을 구성하라:

a. p·q

b. p↔q

3. 연결사 "∼," "·," "∨," 만을 사용하여, 두 개의 입력 전선 p와 q 그리고 하나의 출력 전선 s를 가진 "배타적 또는"의 스위치 회로를 디자인하라.

4. 보통 많은 전등의 전선 회로는 방의 양끝에서 켜지고 꺼질 수 있게 설계되어 있다. 연언, 선언, 부정의 논리적 연결사를 사용하여, 이러한 전등을 통제하는 회로를 디자인하라.

Ⅷ. 복습

8장은 진리함수적 논증들의 다양한 형식들, 일상어 논증의 논증 형식에로의 번역, 문장 문자 기호들과 연결사 기호들의 사용, 논증 형식의 타당성과 부당성을 결정하기 위한 진리표의 사용 등의 주제들을 다루었다. 일상어의 "만약...이면," "또는," "아니다," "경우 그리고 오직 그 경우에만"에 의해 표현되는 진리함수적 연결사에 대한 진리표 정의가 주어졌다. 진리함수적 구조에 의해 참이 되는 문장들(동어반복)과 그 구조에 의해 거짓이 되는 문장들(자기모순 문장)이 또한 설명되었다. 검토되는 문장 형식들과 논증 형식들에 많은 다른 문장 문자들이 나타날 때, 타당성과 동어반복의 문제를 해결하는 진리표 방식은 귀찮은 것이 될 수 있다. 논증 형식의 타당성과 부당성을 증명하고, 문장 형식이 동어반복인지, 우연적 문장 형식인지, 자기모순인지 결정하기 위한 다른 방식을 이 책의 부록1에서 제시한다. 이 방법은 5개 이상의 다른 문장 문자들이 논증 형식이나 문장 형식에 나타날 때 사용하기 더 편리하다. 8장의 마지막 절에서 진리함수적 논리의 중요한 적용(컴퓨터의 논리적 설계)을, 단순한 덧셈기의 구성을 예로 제시하면서, 논의했다.

이 장에서 논의된 중요한 정의들과 논증 형식들의 목록은 다음과 같다.

논리적 연결사들의 진리표 정의들:

연언: p q p·q

T T T

T F F

F T F

F F F

선언: p q p∨q

T T T

T F T

F T T

F F F

실질 쌍조건문: p q p↔q

T T T

T F F

F T F

F F T

실질 조건문: p q p→q

T T T

T F F

F T T

F F T

부정: p ∼p

T F

F T

어떤 중요한 타당한 논증 형식들:

구성적 딜레마: 파괴적 딜레마:

p→q p→q

r→s r→s

p∨r ∼q∨∼s

---------- --------------

q∨s ∼p∨∼r

선언적 삼단논법: 가언적 삼단논법:

p∨q p→q

∼p q→r

----------- --------------

q p→r

우연적 문장: 우연적 문장의 참 또는 거짓은 그 문장의 논리적 구조뿐만 아니라, 그것의 내용에 의존한다. 문장 형식은 진리표에서 그것의 열이 T와 F 둘 다를 포함한다면 우연적이다.

대응 조건문: 모든 논증(그리고 모든 논증 형식)은 전건이 그 논증의 모든 전제들의 연언이고 후건이 그 논증의 결론인 대응되는 조건문을 가진다.

거짓 딜레마; 흑백 사고의 오류: 우리가 모든 가능한 대안들을 다 고려하지 않고, 극단적인 두 경우(예를 들면, 어떤 사람이 중립적인 입장에 있을 수 있을 때 - "그는 나의 친구이거나 또는 나의 적이다")만을 생각할 때, 우리는 이 오류를 범하는 것이 된다. 우리가 딜레마와 선언 삼단논법 형식의 논증을 구성할 때, 이러한 방식으로 생각하는 경향이 종종 있다.

논리적 동치: 두 문장들(문장 형식들)이 항상 동일한 진리값을 가진다면, 논리적으로 동치이다. 두 문장이 논리적으로 동치라면, 그것들에 대응되는 실질 쌍조건문은 동어반복이다.

자기모순: 복합 일상어 문장이 그것의 내용에 관계없이 그것의 논리적 구조에 의해 거짓이라면, 그 복합 일상어 문장은 자기모순이다. 문장 형식은, 진리표에서 그것의 열이 단지 F들만을 포함한다면, 진리함수적 자기모순이다.

동어반복: 복합 일상어 문장이 그것의 내용에 관계없이 그것의 진리함수적 구조에 의해 참이라면, 그 복합 일상어 문장은 동어반복이다. 문장 형식은, 진리표에서 그것의 열이 단지 T들만을 포함한다면, 동어반복이다.

논증 형식의 타당성 또는 부당성에 대한 진리표 검사: 논증에 나타나는 각각의 다른 문장 문자들에 대한 초기 열을 가진 진리표를 구성해라. (만약 n개의 그러한 문자들이 있다면, 진리표는 2n개의 행들을 가질 것이다.) 각각의 전제들과 결론을 위한 다른 열을 구성해라. (이러한 문장 형식들의 복합적인 요소 문장들을 위한 부가적인 열들이 있을 수 있다.)

만약 전제들의 모두가 T를 할당받고, 결론이 F를 할당받는 어떤 행이 있다면, 그 논증 형식은 타당하지 않다. 만약 그러한 행이 없다면, 그 논증 형식은 타당하다.

타당한 진리함수적 일상어 논증 : 일상어 논증은, 그것이 어떤 타당한 진리함수적 논증 형식의 한 사례라면, 진리함수적으로 타당하다. (타당한 논증은 어떤 부당한 논증 형식의 한 사례일 수 있다는 것을 유념하라. 일상어 논증은, 그것이 한 사례가 되는 어떠한 타당한 형식도 없을 경우에만, 부당하다.)

저작자표시

'Study 2 > 논리학' 카테고리의 다른 글

제10장 타당성이 관계에 의존하는 논증들 (0)	2020.05.11
제9장 정언 삼단논법 (0)	2020.05.11
제7장 가설과 확증 (0)	2020.05.11
제6장 연역 추리 : 조건적 논증 (0)	2020.05.11
제5장 확률과 귀납논리 (0)	2020.05.11